Тригонометрия Примеры

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Этап 1

Заменим $\cos^{2} (θ)$ на $1 - \sin^{2} (θ)$ .

$\sin (θ) \cot (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Изменим порядок $\sin (θ)$ и $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) \sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Этап 2.1.2

Выразим $\sin (θ) \cot (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Этап 2.1.3

Сократим общие множители.

$\cos (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Этап 2.2

Применим формулу Пифагора.

$\cos (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $\cos (θ) - \cos^{2} (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $\cos^{1} (θ)$ .

$\cos (θ) \cdot 1 - \cos^{2} (θ) = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $- \cos^{2} (θ)$ .

$\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ)) = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))$ .

$\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \cos (θ) = 0$

Этап 5

Приравняем $\cos (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos (θ)$ к $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $90$ .

$θ = 90$

Этап 5.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 360 - 90$

Этап 5.2.4

Вычтем $90$ из $360$ .

$θ = 270$

Этап 5.2.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 5.2.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $1 - \cos (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $1 - \cos (θ)$ к $0$ .

$1 - \cos (θ) = 0$

Этап 6.2

Решим $1 - \cos (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \cos (θ) = - 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $- \cos (θ) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $- \cos (θ) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2.2.2.2

Разделим $\cos (θ)$ на $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (θ) = 1$

Этап 6.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (1)$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 6.2.5

$θ = 360 - 0$

Этап 6.2.6

Вычтем $0$ из $360$ .

$θ = 360$

Этап 6.2.7

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 6.2.7.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 6.2.8

Период функции $\cos (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 360 n, 360 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$ верно.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 360 n, 360 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $90 + 360 n$ и $270 + 360 n$ в $90 + 180 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 360 n, 360 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим $360 n$ и $360 + 360 n$ в $360 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Исключим решения, которые не делают $\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$ истинным.

$θ = 90, 270, 360, 450, 630, 720, 810, 990, 1080, 1170, 1350, 1440, 1800, 2160, 2520$ , для любого целого $n$