Тригонометрия Примеры

$2 \sec^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Этап 1

Заменим $2 \sec^{2} (θ)$ на $2 (1 + \tan^{2} (θ))$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (θ)) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Этап 3

Упорядочим многочлен.

$- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$

Этап 4

Подставим $u = \tan^{2} (θ)$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (θ)$

Этап 5

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

Этап 6

Добавим $2$ и $1$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Этап 7

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} + 2 u + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 u$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

Этап 7.1.3

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 7.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2}) - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 7.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Этап 7.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разложим $u^{2} - 2 u - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 7.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Этап 7.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 9

Приравняем $u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 9.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 10

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (u - 3) (u + 1) = 0$ верно.

$u = 3, - 1$

Этап 12

Подставим вещественное значение $u = \tan^{2} (θ)$ обратно в решенное уравнение.

$\tan^{2} (θ) = 3$

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Этап 13

Решим первое уравнение относительно $\tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) = 3$

Этап 14

Решим уравнение относительно $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

Этап 14.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Этап 14.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Этап 14.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 15

Решим второе уравнение относительно $\tan (θ)$ .

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Этап 16

Решим уравнение относительно $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Избавимся от скобок.

$\tan^{2} (θ) = - 1$

Этап 16.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 16.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$\tan (θ) = \pm i$

Этап 16.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (θ) = i$

Этап 16.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (θ) = - i$

Этап 16.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (θ) = i, - i$

Этап 17

Решением $- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$ является $\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

Этап 18

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

$\tan (θ) = i$

$\tan (θ) = - i$

Этап 19

Решим относительно $θ$ в $\tan (θ) = \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 19.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $60$ .

$θ = 60$

Этап 19.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 180 + 60$

Этап 19.4

Добавим $180$ и $60$ .

$θ = 240$

Этап 19.5

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 19.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 19.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 19.5.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 19.6

Период функции $\tan (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 20

Решим относительно $θ$ в $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

Этап 20.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Точное значение $\arctan (- \sqrt{3})$ : $- 60$ .

$θ = - 60$

Этап 20.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = - 60 - 180$

Этап 20.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.1

Добавим $360 °$ к $- 60 - 180 °$ .

$θ = - 60 - 180 ° + 360 °$

Этап 20.4.2

Результирующий угол $120 °$ является положительным и отличается от $- 60 - 180$ на полный оборот.

$θ = 120 °$

Этап 20.5

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 20.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 20.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 20.5.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 20.6

Добавим $180$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.6.1

Добавим $180$ к $- 60$ , чтобы найти положительный угол.

$- 60 + 180$

Этап 20.6.2

Вычтем $60$ из $180$ .

$120$

Этап 20.6.3

Перечислим новые углы.

$θ = 120$

Этап 20.7

Период функции $\tan (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 21

Решим относительно $θ$ в $\tan (θ) = i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (i)$

Этап 21.2

Обратная к тангенсу $\arctan (i)$ не определена.

Неопределенные

Этап 22

Решим относительно $θ$ в $\tan (θ) = - i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (- i)$

Этап 22.2

Обратная к тангенсу $\arctan (- i)$ не определена.

Неопределенные

Этап 23

Перечислим все решения.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 24

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Объединим $60 + 180 n$ и $240 + 180 n$ в $60 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 24.2

Объединим $120 + 180 n$ и $120 + 180 n$ в $120 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , для любого целого $n$