Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} = 2 \tan^{2} (θ)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1}$

Этап 2

Вычтем дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1}{\csc (θ) - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1}$ .

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} \cdot \frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1}$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{\csc (θ) + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$ .

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} \cdot \frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} \cdot \frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{\csc (θ) - 1}$ на $\frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1}$ .

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} \cdot \frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{\csc (θ) + 1}$ на $\frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$ .

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)} - \frac{\csc (θ) - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)$ .

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)} - \frac{\csc (θ) - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\csc (θ) + 1 - (\csc (θ) - 1)}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\csc (θ) + 1 - \csc (θ) - - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\csc (θ) + 1 - \csc (θ) + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Этап 3.2

Вычтем $\csc (θ)$ из $\csc (θ)$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1 + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{\csc (θ) (\csc (θ) - 1) + 1 (\csc (θ) - 1)}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{\csc (θ) \csc (θ) + \csc (θ) \cdot - 1 + 1 (\csc (θ) - 1)}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{\csc (θ) \csc (θ) + \csc (θ) \cdot - 1 + 1 \csc (θ) + 1 \cdot - 1}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{2}{\csc^{2} (θ) - 1}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{2}{\cot^{2} (θ)}$

Этап 6

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Запишем $\cot (θ)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{2}{{(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}}$

Этап 6.2

Применим правило умножения к $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{2}{\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Этап 7.2

Объединим $2$ и $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ .

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 8

Перепишем $\frac{2 \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ в виде $2 \tan^{2} (θ)$ .

$2 \tan^{2} (θ)$

Этап 9

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} = 2 \tan^{2} (θ)$ — тождество