Тригонометрия Примеры

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)} = 2 \csc (3 t)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \cos (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ .

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} \cdot \frac{1 + \cos (3 t)}{1 + \cos (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (3 t)}{\sin (3 t)}$ .

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} \cdot \frac{1 + \cos (3 t)}{1 + \cos (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)} \cdot \frac{\sin (3 t)}{\sin (3 t)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)}$ на $\frac{1 + \cos (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ .

$\frac{(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)} \cdot \frac{\sin (3 t)}{\sin (3 t)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ на $\frac{\sin (3 t)}{\sin (3 t)}$ .

$\frac{(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))} + \frac{\sin (3 t) \sin (3 t)}{(1 + \cos (3 t)) \sin (3 t)}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 + \cos (3 t)) \sin (3 t)$ .

$\frac{(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))} + \frac{\sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t)) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Развернем $(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (1 + \cos (3 t)) + \cos (3 t) (1 + \cos (3 t)) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (3 t) + \cos (3 t) (1 + \cos (3 t)) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (3 t) + \cos (3 t) \cdot 1 + \cos (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 + 1 \cos (3 t) + \cos (3 t) \cdot 1 + \cos (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $\cos (3 t)$ на $1$ .

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) \cdot 1 + \cos (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.2.1.3

Умножим $\cos (3 t)$ на $1$ .

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + \cos (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.2.1.4

Умножим $\cos (3 t) \cos (3 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.4.1

Возведем $\cos (3 t)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + \cos^{1} (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.2.1.4.2

Возведем $\cos (3 t)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + \cos^{1} (3 t) \cos^{1} (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.2.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + {\cos (3 t)}^{1 + 1} + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.2.2

Добавим $\cos (3 t)$ и $\cos (3 t)$ .

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.3

Умножим $\sin (3 t) \sin (3 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Возведем $\sin (3 t)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin^{1} (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.3.2

Возведем $\sin (3 t)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin^{1} (3 t) \sin^{1} (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + {\sin (3 t)}^{1 + 1}}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin^{2} (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.4

Перепишем $1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin^{2} (3 t)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Переставляем члены.

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \sin^{2} (3 t) + \cos^{2} (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.4.2

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + 1}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.4.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 + 2 \cos (3 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.5.4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1 + 2 \cos (3 t)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $1 + \cos (3 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Этап 2.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{\sin (3 t)}$

Этап 3

Перепишем $\frac{2}{\sin (3 t)}$ в виде $2 \csc (3 t)$ .

$2 \csc (3 t)$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)} = 2 \csc (3 t)$ — тождество