Тригонометрия Примеры

$4 \cos (x) = - \sin^{2} (x) + 1$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $\sin^{2} (x)$ к обеим частям уравнения.

$4 \cos (x) + \sin^{2} (x) = 1$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 \cos (x) + \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 2

Упростим $4 \cos (x) + \sin^{2} (x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Изменим порядок $\sin^{2} (x)$ и $- 1$ .

$4 \cos (x) - 1 + \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$4 \cos (x) - 1 (1) + \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin^{2} (x)$ .

$4 \cos (x) - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) - 1 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.5

Перепишем $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ в виде $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.6

Применим формулу Пифагора.

$4 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ для всех.

$4 u - u^{2} = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $u$ из $4 u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Этап 3.1.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Этап 3.1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$\cos (x) (4 - \cos (x)) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$4 - \cos (x) = 0$

Этап 3.3

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 3.3.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 3.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.3.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 3.3.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.3.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.3.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.3.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.3.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.3.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.3.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.3.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.4

Приравняем $4 - \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $4 - \cos (x)$ к $0$ .

$4 - \cos (x) = 0$

Этап 3.4.2

Решим $4 - \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- \cos (x) = - 4$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $- \cos (x) = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $- \cos (x) = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.4.2.2.2.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$\cos (x) = 4$

Этап 3.4.2.3

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $4$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (x) (4 - \cos (x)) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$