Тригонометрия Примеры

$\tan (u) - \sec (u) = - \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$

Этап 1

Начнем с правой части.

$- \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$

Этап 2

Умножим $\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$ на $\frac{1 - \sin (u)}{1 - \sin (u)}$ .

$- (\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)} \cdot \frac{1 - \sin (u)}{1 - \sin (u)})$

Этап 3

Объединим.

$- \frac{\cos (u) (1 - \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\cos (u) \cdot 1 + \cos (u) (- \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Этап 4.2

Умножим $\cos (u)$ на $1$ .

$- \frac{\cos (u) + \cos (u) (- \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $\cos (u) + \cos (u) (- \sin (u))$ .

$- \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 (1 - \sin (u)) + \sin (u) (1 - \sin (u))}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (u)) + \sin (u) (1 - \sin (u))}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (u)) + \sin (u) \cdot 1 + \sin (u) (- \sin (u))}$

Этап 5.2

Упростим и объединим подобные члены.

$- \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 - \sin^{2} (u)}$

Этап 6

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 - \sin^{2} (u)}$

Этап 7

Объединим.

$\frac{- (\cos (u) - \cos (u) \sin (u))}{1 (1 - \sin^{2} (u))}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \cos (u) - (- \cos (u) \sin (u))}{1 (1 - \sin^{2} (u))}$

Этап 8.2

Умножим $- (- \cos (u) \sin (u))$ .

$\frac{- \cos (u) + \cos (u) \sin (u)}{1 (1 - \sin^{2} (u))}$

Этап 9

Умножим $1 - {\sin (u)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{- \cos (u) + \cos (u) \sin (u)}{1 - \sin^{2} (u)}$

Этап 10

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \cos (u) + \cos (u) \sin (u)}{\cos^{2} (u)}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $\cos (u)$ из $- \cos (u) + \cos (u) \sin (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Вынесем множитель $\cos (u)$ из $- \cos (u)$ .

$\frac{\cos (u) \cdot - 1 + \cos (u) \sin (u)}{{\cos (u)}^{2}}$

Этап 11.1.2

Вынесем множитель $\cos (u)$ из $\cos (u) \sin (u)$ .

$\frac{\cos (u) \cdot - 1 + \cos (u) (\sin (u))}{{\cos (u)}^{2}}$

Этап 11.1.3

Вынесем множитель $\cos (u)$ из $\cos (u) \cdot - 1 + \cos (u) (\sin (u))$ .

$\frac{\cos (u) (- 1 + \sin (u))}{{\cos (u)}^{2}}$

Этап 11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $\cos (u)$ из ${\cos (u)}^{2}$ .

$\frac{\cos (u) (- 1 + \sin (u))}{\cos (u) \cos (u)}$

Этап 11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (u) (- 1 + \sin (u))}{\cos (u) \cos (u)}$

Этап 11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 + \sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 11.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 11.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin (u)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin (u))}{\cos (u)}$

Этап 11.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin (u))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin (u))}{\cos (u)}$

Этап 11.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 12

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 13

Объединим.

$\frac{- (1 - \sin (u))}{1 \cos (u)}$

Этап 14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 \cdot 1 - - \sin (u)}{1 \cos (u)}$

Этап 14.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 - - \sin (u)}{1 \cos (u)}$

Этап 14.3

Умножим $- - \sin (u)$ .

$\frac{- 1 + \sin (u)}{1 \cos (u)}$

Этап 15

Умножим $\cos (u)$ на $1$ .

$\frac{- 1 + \sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 16.2

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin (u)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin (u))}{\cos (u)}$

Этап 16.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin (u))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin (u))}{\cos (u)}$

Этап 16.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 17

Теперь рассмотрим левую часть уравнения.

$\tan (u) - \sec (u)$

Этап 18

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Запишем $\tan (u)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \sec (u)$

Этап 18.2

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (u)$ .

$\frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{1}{\cos (u)}$

Этап 19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (u) - 1}{\cos (u)}$

Этап 20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 20.2

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin (u)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin (u))}{\cos (u)}$

Этап 20.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin (u))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin (u))}{\cos (u)}$

Этап 20.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 21

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\tan (u) - \sec (u) = - \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$ — тождество