Тригонометрия Примеры

$3 \cos^{2} (θ) + \cos (θ) = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cos (θ)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (θ)$ для всех.

$3 u^{2} + u = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $u$ из $3 u^{2} + u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $3 u^{2}$ .

$u (3 u) + u = 0$

Этап 1.2.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$u (3 u) + u = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$u (3 u) + u \cdot 1 = 0$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $u$ из $u (3 u) + u \cdot 1$ .

$u (3 u + 1) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (3 \cos (θ) + 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$3 \cos (θ) + 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $\cos (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\cos (θ)$ к $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Этап 3.2

Решим $\cos (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $90$ .

$θ = 90$

Этап 3.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 360 - 90$

Этап 3.2.4

Вычтем $90$ из $360$ .

$θ = 270$

Этап 3.2.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 3.2.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 3.2.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $3 \cos (θ) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3 \cos (θ) + 1$ к $0$ .

$3 \cos (θ) + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $3 \cos (θ) + 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 \cos (θ) = - 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $3 \cos (θ) = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $3 \cos (θ) = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 \cos (θ)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cos (θ)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (θ)$ на $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{3}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (θ) = - \frac{1}{3}$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (- \frac{1}{3})$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Найдем значение $\arccos (- \frac{1}{3})$ .

$θ = 109.47122063$

Этап 4.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 - 109.47122063$

Этап 4.2.6

Вычтем $109.47122063$ из $360$ .

$θ = 250.52877936$

Этап 4.2.7

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 4.2.7.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 4.2.8

Период функции $\cos (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 109.47122063 + 360 n, 250.52877936 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (θ) (3 \cos (θ) + 1) = 0$ верно.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 109.47122063 + 360 n, 250.52877936 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим $90 + 360 n$ и $270 + 360 n$ в $90 + 180 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 109.47122063 + 360 n, 250.52877936 + 360 n$ , для любого целого $n$