Тригонометрия Примеры

$9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) = 12 \tan (θ)$

Этап 1

Вычтем $12 \tan (θ)$ из обеих частей уравнения.

$9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $3 \tan (θ)$ из $9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $3 \tan (θ)$ из $9 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ .

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) - 12 \tan (θ) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $3 \tan (θ)$ из $- 12 \tan (θ)$ .

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) + 3 \tan (θ) \cdot - 4 = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $3 \tan (θ)$ из $3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) + 3 \tan (θ) \cdot - 4$ .

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ) - 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (θ) = 0$

$3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$

Этап 4

Приравняем $\tan (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\tan (θ)$ к $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Этап 4.2

Решим $\tan (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 4.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 180 + 0$

Этап 4.2.4

Добавим $180$ и $0$ .

$θ = 180$

Этап 4.2.5

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 4.2.6

Период функции $\tan (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $3 \sec^{2} (θ) - 4$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $3 \sec^{2} (θ) - 4$ к $0$ .

$3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$

Этап 5.2

Решим $3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 \sec^{2} (θ) = 4$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $3 \sec^{2} (θ) = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $3 \sec^{2} (θ) = 4$ на $3$ .

$\frac{3 \sec^{2} (θ)}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sec^{2} (θ)}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\sec^{2} (θ)$ на $1$ .

$\sec^{2} (θ) = \frac{4}{3}$

Этап 5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Этап 5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.2.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.2.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sec (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 5.2.4.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.2.4.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 5.2.4.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 5.2.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.2.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.2.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.2.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 5.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.2.7

Решим относительно $θ$ в $\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака секанса.

$θ = arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 5.2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.2.1

Точное значение $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ : $30$ .

$θ = 30$

Этап 5.2.7.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 360 - 30$

Этап 5.2.7.4

Вычтем $30$ из $360$ .

$θ = 330$

Этап 5.2.7.5

Найдем период $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 5.2.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 5.2.7.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 5.2.7.6

Период функции $\sec (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 30 + 360 n, 330 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.8

Решим относительно $θ$ в $\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака секанса.

$θ = arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 5.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.2.1

Точное значение $arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ : $150$ .

$θ = 150$

Этап 5.2.8.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 - 150$

Этап 5.2.8.4

Вычтем $150$ из $360$ .

$θ = 210$

Этап 5.2.8.5

Найдем период $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 5.2.8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 5.2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 5.2.8.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 5.2.8.6

Период функции $\sec (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 150 + 360 n, 210 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.9

Перечислим все решения.

$θ = 30 + 360 n, 330 + 360 n, 150 + 360 n, 210 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Объединим $30 + 360 n$ и $210 + 360 n$ в $30 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 330 + 360 n, 150 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.10.2

Объединим $330 + 360 n$ и $150 + 360 n$ в $150 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ) - 4) = 0$ верно.

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим $180 n$ и $180 + 180 n$ в $180 n$ .

$θ = 180 n, 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , для любого целого $n$