Тригонометрия Примеры

$6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) = 12 \tan (θ)$

Этап 1

Вычтем $12 \tan (θ)$ из обеих частей уравнения.

$6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $6 \tan (θ)$ из $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $6 \tan (θ)$ из $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ .

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $6 \tan (θ)$ из $- 12 \tan (θ)$ .

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) + 6 \tan (θ) \cdot - 2 = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $6 \tan (θ)$ из $6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) + 6 \tan (θ) \cdot - 2$ .

$6 \tan (θ) (\sec^{2} (θ) - 2) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (θ) = 0$

$\sec^{2} (θ) - 2 = 0$

Этап 4

Приравняем $\tan (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\tan (θ)$ к $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Этап 4.2

Решим $\tan (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 4.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 180 + 0$

Этап 4.2.4

Добавим $180$ и $0$ .

$θ = 180$

Этап 4.2.5

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 4.2.6

Период функции $\tan (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\sec^{2} (θ) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sec^{2} (θ) - 2$ к $0$ .

$\sec^{2} (θ) - 2 = 0$

Этап 5.2

Решим $\sec^{2} (θ) - 2 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\sec^{2} (θ) = 2$

Этап 5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{2}$

Этап 5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

Этап 5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

Этап 5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sec (θ) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 5.2.4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

Этап 5.2.5

Решим относительно $θ$ в $\sec (θ) = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака секанса.

$θ = arcsec (\sqrt{2})$

Этап 5.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Точное значение $arcsec (\sqrt{2})$ : $45$ .

$θ = 45$

Этап 5.2.5.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 360 - 45$

Этап 5.2.5.4

Вычтем $45$ из $360$ .

$θ = 315$

Этап 5.2.5.5

Найдем период $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 5.2.5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 5.2.5.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 5.2.5.6

Период функции $\sec (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.6

Решим относительно $θ$ в $\sec (θ) = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака секанса.

$θ = arcsec (- \sqrt{2})$

Этап 5.2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Точное значение $arcsec (- \sqrt{2})$ : $135$ .

$θ = 135$

Этап 5.2.6.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 - 135$

Этап 5.2.6.4

Вычтем $135$ из $360$ .

$θ = 225$

Этап 5.2.6.5

Найдем период $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 5.2.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 5.2.6.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 5.2.6.6

Период функции $\sec (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.7

Перечислим все решения.

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.8

Объединим ответы.

$θ = 45 + 90 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 \tan (θ) (\sec^{2} (θ) - 2) = 0$ верно.

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 45 + 90 n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим $180 n$ и $180 + 180 n$ в $180 n$ .

$θ = 180 n, 45 + 90 n$ , для любого целого $n$