Тригонометрия Примеры

$9 \sin (18 x) + 11 = 2$

Этап 1

Перенесем все члены без $\sin (18 x)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$9 \sin (18 x) = 2 - 11$

Этап 1.2

Вычтем $11$ из $2$ .

$9 \sin (18 x) = - 9$

Этап 2

Разделим каждый член $9 \sin (18 x) = - 9$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $9 \sin (18 x) = - 9$ на $9$ .

$\frac{9 \sin (18 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \sin (18 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\sin (18 x)$ на $1$ .

$\sin (18 x) = \frac{- 9}{9}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим $- 9$ на $9$ .

$\sin (18 x) = - 1$

Этап 3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$18 x = \arcsin (- 1)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$18 x = - \frac{π}{2}$

Этап 5

Разделим каждый член $18 x = - \frac{π}{2}$ на $18$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $18 x = - \frac{π}{2}$ на $18$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{- \frac{π}{2}}{18}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{18 x}{18} = \frac{- \frac{π}{2}}{18}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{18}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{18}$

Этап 5.3.2

Умножим $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{18}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $\frac{1}{18}$ на $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{18 \cdot 2}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $18$ на $2$ .

$x = - \frac{π}{36}$

Этап 6

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$18 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 7

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$18 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 7.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$18 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 7.3

Разделим каждый член $18 x = \frac{3 π}{2}$ на $18$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим каждый член $18 x = \frac{3 π}{2}$ на $18$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{\frac{3 π}{2}}{18}$

Этап 7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Сократим общий множитель $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{18 x}{18} = \frac{\frac{3 π}{2}}{18}$

Этап 7.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{18}$

Этап 7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{18}$

Этап 7.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{18}$

Этап 7.3.3.2.2

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3 (6)}$

Этап 7.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot 6}$

Этап 7.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6}$

Этап 7.3.3.3

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{6}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 6}$

Этап 7.3.3.4

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \frac{π}{12}$

Этап 8

Найдем период $\sin (18 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $18$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 18 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $18$ равно $18$ .

$\frac{2 π}{18}$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $2$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{18}$

Этап 8.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 9}$

Этап 8.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 9}$

Этап 8.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{9}$

Этап 9

Добавим $\frac{π}{9}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $\frac{π}{9}$ к $- \frac{π}{36}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{36} + \frac{π}{9}$

Этап 9.2

Чтобы записать $\frac{π}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{36}$

Этап 9.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $\frac{π}{9}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{π}{36}$

Этап 9.3.2

Умножим $9$ на $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{36} - \frac{π}{36}$

Этап 9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{36}$

Этап 9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{36}$

Этап 9.5.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{36}$

Этап 9.6

Сократим общий множитель $3$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$\frac{3 (π)}{36}$

Этап 9.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$\frac{3 π}{3 \cdot 12}$

Этап 9.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 π}{3 \cdot 12}$

Этап 9.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{12}$

Этап 9.7

Перечислим новые углы.

$x = \frac{π}{12}$

Этап 10

Период функции $\sin (18 x)$ равен $\frac{π}{9}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{9}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{9}, \frac{π}{12} + \frac{π n}{9}$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{9}$ , для любого целого $n$