Тригонометрия Примеры

$4 \sin (x) = - \cos^{2} (x) + 1$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $\cos^{2} (x)$ к обеим частям уравнения.

$4 \sin (x) + \cos^{2} (x) = 1$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 2

Упростим $4 \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Изменим порядок $\cos^{2} (x)$ и $- 1$ .

$4 \sin (x) - 1 + \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$4 \sin (x) - 1 (1) + \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) - 1 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.5

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.6

Применим формулу Пифагора.

$4 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ для всех.

$4 u - u^{2} = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $u$ из $4 u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Этап 3.1.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Этап 3.1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\sin (x) (4 - \sin (x)) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$4 - \sin (x) = 0$

Этап 3.3

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 3.3.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 3.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.3.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 3.3.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 3.3.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.3.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.3.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.4

Приравняем $4 - \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $4 - \sin (x)$ к $0$ .

$4 - \sin (x) = 0$

Этап 3.4.2

Решим $4 - \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (x) = - 4$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $- \sin (x) = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $- \sin (x) = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.4.2.2.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$\sin (x) = 4$

Этап 3.4.2.3

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $4$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (4 - \sin (x)) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$