Тригонометрия Примеры

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Этап 1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (x)$ и $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 2

Развернем $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим противоположные члены в $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\cos (x) (- \sin (x))$ и $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 3.1.2

Добавим $- \cos (x) \sin (x)$ и $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 3.1.3

Добавим $\cos (x) \cos (x)$ и $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 3.2.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 3.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 3.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Этап 3.2.3

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Этап 3.2.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Этап 3.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Этап 3.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Этап 4

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 x)$

Этап 5

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 6

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 7

Подставим фактические значения $a = \cos (2 x)$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + \cos^{2} (2 x)}$

Этап 8

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + \cos^{2} (2 x)}$

Этап 8.2

Добавим $0$ и $\cos^{2} (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{2} (2 x)}$

Этап 8.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \cos (2 x)$

Этап 9

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})$

Этап 10

Подставим значения $θ = \arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})$ и $| z | = \cos (2 x)$ .

$\cos (2 x) (\cos (\arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})))$