Тригонометрия Примеры

$\sin (2 θ) = \cos (θ)$

Этап 1

Вычтем $\cos (θ)$ из обеих частей уравнения.

$\sin (2 θ) - \cos (θ) = 0$

Этап 2

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $2 \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) - \cos (θ) = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $- \cos (θ)$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot - 1 = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot - 1$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $\cos (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos (θ)$ к $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $90$ .

$θ = 90$

Этап 5.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 360 - 90$

Этап 5.2.4

Вычтем $90$ из $360$ .

$θ = 270$

Этап 5.2.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 5.2.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $2 \sin (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 \sin (θ) - 1$ к $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 \sin (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin (θ) = 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (θ) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (θ) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $30$ .

$θ = 30$

Этап 6.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = 180 - 30$

Этап 6.2.6

Вычтем $30$ из $180$ .

$θ = 150$

Этап 6.2.7

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 6.2.7.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 6.2.8

Период функции $\sin (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$ верно.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим $90 + 360 n$ и $270 + 360 n$ в $90 + 180 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , для любого целого $n$