Тригонометрия Примеры

$9 \cos^{2} (θ) - 4 = 0$

Этап 1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$9 \cos^{2} (θ) = 4$

Этап 2

Разделим каждый член $9 \cos^{2} (θ) = 4$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $9 \cos^{2} (θ) = 4$ на $9$ .

$\frac{9 \cos^{2} (θ)}{9} = \frac{4}{9}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \cos^{2} (θ)}{9} = \frac{4}{9}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\cos^{2} (θ)$ на $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{4}{9}$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{4}{9}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{4}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{9}}$

Этап 4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{9}}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (θ) = \pm \frac{2}{3}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (θ) = - \frac{2}{3}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (θ) = \frac{2}{3}, - \frac{2}{3}$

Этап 6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$

$\cos (θ) = - \frac{2}{3}$

Этап 7

Решим относительно $θ$ в $\cos (θ) = \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (\frac{2}{3})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\arccos (\frac{2}{3})$ .

$θ = 48.1896851$

Этап 7.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 360 - 48.1896851$

Этап 7.4

Вычтем $48.1896851$ из $360$ .

$θ = 311.81031489$

Этап 7.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 7.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 48.1896851 + 360 n, 311.81031489 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Решим относительно $θ$ в $\cos (θ) = - \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (- \frac{2}{3})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\arccos (- \frac{2}{3})$ .

$θ = 131.81031489$

Этап 8.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 - 131.81031489$

Этап 8.4

Вычтем $131.81031489$ из $360$ .

$θ = 228.1896851$

Этап 8.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 8.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 8.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 131.81031489 + 360 n, 228.1896851 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Перечислим все решения.

$θ = 48.1896851 + 360 n, 311.81031489 + 360 n, 131.81031489 + 360 n, 228.1896851 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $48.1896851 + 360 n$ и $228.1896851 + 360 n$ в $48.1896851 + 180 n$ .

$θ = 48.1896851 + 180 n, 311.81031489 + 360 n, 131.81031489 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 10.2

Объединим $311.81031489 + 360 n$ и $131.81031489 + 360 n$ в $131.81031489 + 180 n$ .

$θ = 48.1896851 + 180 n, 131.81031489 + 180 n$ , для любого целого $n$