Тригонометрия Примеры

$\cos^{2} (θ) + 2 \cos (θ) + 1 = 0$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\cos (θ)$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Этап 3

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 5

Подставим $\cos (θ)$ вместо $u$ .

$\cos (θ) = - 1$

Этап 6

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (- 1)$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $180$ .

$θ = 180$

Этап 8

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 - 180$

Этап 9

Вычтем $180$ из $360$ .

$θ = 180$

Этап 10

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 10.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 10.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 11

Период функции $\cos (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 180 + 360 n$ , для любого целого $n$