Тригонометрия Примеры

$(\cot (θ) - 1) (2 \sin (θ) + 1) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cot (θ) - 1 = 0$

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

Этап 2

Приравняем $\cot (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $\cot (θ) - 1$ к $0$ .

$\cot (θ) - 1 = 0$

Этап 2.2

Решим $\cot (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cot (θ) = 1$

Этап 2.2.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из котангенса.

$θ = arccot (1)$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Точное значение $arccot (1)$ : $45$ .

$θ = 45$

Этап 2.2.4

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 180 + 45$

Этап 2.2.5

Добавим $180$ и $45$ .

$θ = 225$

Этап 2.2.6

Найдем период $\cot (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 2.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 2.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 2.2.6.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 2.2.7

Период функции $\cot (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 45 + 180 n, 225 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Приравняем $2 \sin (θ) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 \sin (θ) + 1$ к $0$ .

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 \sin (θ) + 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (θ) = - 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (θ) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (θ) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

Этап 3.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- 30$ .

$θ = - 30$

Этап 3.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $360$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 + 30 + 180$

Этап 3.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Вычтем $360 °$ из $360 + 30 + 180 °$ .

$θ = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Этап 3.2.6.2

Результирующий угол $210 °$ является положительным, меньшим $360 °$ и отличается от $360 + 30 + 180$ на полный оборот.

$θ = 210 °$

Этап 3.2.7

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 3.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 3.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 3.2.7.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 3.2.8

Добавим $360$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Добавим $360$ к $- 30$ , чтобы найти положительный угол.

$- 30 + 360$

Этап 3.2.8.2

Вычтем $30$ из $360$ .

$330$

Этап 3.2.8.3

Перечислим новые углы.

$θ = 330$

Этап 3.2.9

Период функции $\sin (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\cot (θ) - 1) (2 \sin (θ) + 1) = 0$ верно.

$θ = 45 + 180 n, 225 + 180 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Объединим $45 + 180 n$ и $225 + 180 n$ в $45 + 180 n$ .

$θ = 45 + 180 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , для любого целого $n$