Тригонометрия Примеры

$(\cot (θ) - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (θ) + 1) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

$\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$

Этап 2

Приравняем $\cot (θ) - \sqrt{3}$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $\cot (θ) - \sqrt{3}$ к $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

Этап 2.2

Решим $\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $\sqrt{3}$ к обеим частям уравнения.

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

Этап 2.2.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из котангенса.

$θ = arccot (\sqrt{3})$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Точное значение $arccot (\sqrt{3})$ : $30$ .

$θ = 30$

Этап 2.2.4

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 180 + 30$

Этап 2.2.5

Добавим $180$ и $30$ .

$θ = 210$

Этап 2.2.6

Найдем период $\cot (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 2.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 2.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 2.2.6.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 2.2.7

Период функции $\cot (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 30 + 180 n, 210 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Приравняем $\sqrt{2} \sin (θ) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\sqrt{2} \sin (θ) + 1$ к $0$ .

$\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$ на $\sqrt{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$ на $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (θ) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 3.2.2.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 3.2.2.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.2.2.3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.2.2.3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.2.2.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.2.2.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.2.2.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.2.2.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.2.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.2.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.2.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.2.2.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $- 45$ .

$θ = - 45$

Этап 3.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $360$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 + 45 + 180$

Этап 3.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Вычтем $360 °$ из $360 + 45 + 180 °$ .

$θ = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

Этап 3.2.6.2

Результирующий угол $225 °$ является положительным, меньшим $360 °$ и отличается от $360 + 45 + 180$ на полный оборот.

$θ = 225 °$

Этап 3.2.7

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 3.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 3.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 3.2.7.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 3.2.8

Добавим $360$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Добавим $360$ к $- 45$ , чтобы найти положительный угол.

$- 45 + 360$

Этап 3.2.8.2

Вычтем $45$ из $360$ .

$315$

Этап 3.2.8.3

Перечислим новые углы.

$θ = 315$

Этап 3.2.9

Период функции $\sin (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\cot (θ) - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (θ) + 1) = 0$ верно.

$θ = 30 + 180 n, 210 + 180 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Объединим $30 + 180 n$ и $210 + 180 n$ в $30 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , для любого целого $n$