Тригонометрия Примеры

$\csc (- x) - \sin (- x) = - \cos (x) \cot (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\csc (- x) - \sin (- x)$

Этап 2

Так как $\csc (- x)$ — нечетная функция, перепишем $\csc (- x)$ в виде $- \csc (x)$ .

$- \csc (x) - \sin (- x)$

Этап 3

Так как $\sin (- x)$ — нечетная функция, перепишем $\sin (- x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$- \csc (x) - - \sin (x)$

Этап 4

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} - - \sin (x)$

Этап 5

Запишем $- - \sin (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{- - \sin (x)}{1}$

Этап 6

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $\frac{- - \sin (x)}{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{- - \sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 6.2

Умножим $\frac{- - \sin (x)}{1}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{- - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 - - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 7

Упростим каждый член.

$\frac{- 1 + \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 8

Применим формулу Пифагора.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 8.2

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))}{\sin (x)}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x))}{\sin (x)}$

Этап 8.4

Перепишем $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ в виде $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \sin^{2} (x))}{\sin (x)}$

Этап 8.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 10

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 11

Объединим.

$\frac{- \cos^{2} (x)}{1 \sin (x)}$

Этап 12

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 14

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$- \cos (x) \cot (x)$

Этап 15

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 16

Умножим $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 17

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\csc (- x) - \sin (- x) = - \cos (x) \cot (x)$ — тождество