Статистика Примеры

$\begin{array}{c} Класс & Частота \\ 2 - 10 & 1 \\ 11 - 19 & 3 \\ 20 - 28 & 9 \end{array}$

Step 1

Найдем среднюю точку $M$ для каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Нижний предел для каждого класса является наименьшим значением в этом классе. С другой стороны, верхний предел для каждого класса является наибольшим значением в этом классе.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 2 - 10 & 1 & 2 & 10 \\ 11 - 19 & 3 & 11 & 19 \\ 20 - 28 & 9 & 20 & 28 \end{array}$

Средняя точка класса ― это сумма нижнего и верхнего пределов класса, поделенная на $2$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 2 - 10 & 1 & 2 & 10 & \frac{2 + 10}{2} \\ 11 - 19 & 3 & 11 & 19 & \frac{11 + 19}{2} \\ 20 - 28 & 9 & 20 & 28 & \frac{20 + 28}{2} \end{array}$

Упростим весь средний столбец.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 2 - 10 & 1 & 2 & 10 & 6 \\ 11 - 19 & 3 & 11 & 19 & 15 \\ 20 - 28 & 9 & 20 & 28 & 24 \end{array}$

Добавим столбец средних точек в исходную таблицу.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 2 - 10 & 1 & 6 \\ 11 - 19 & 3 & 15 \\ 20 - 28 & 9 & 24 \end{array}$

Step 2

Вычислим квадрат средней точки каждой группы $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 6^{2} \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 15^{2} \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 24^{2} \end{array}$

Step 3

Упростим столбец $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 36 \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 225 \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 576 \end{array}$

Step 4

Умножим квадрат каждой средней точки на ее частоту $f$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 36 & 1 \cdot 36 \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 225 & 3 \cdot 225 \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 576 & 9 \cdot 576 \end{array}$

Step 5

Упростим столбец $f \cdot M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 36 & 36 \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 225 & 675 \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 576 & 5184 \end{array}$

Step 6

Найдем сумму всех частот. В этом случае сумма всех частот равна $n = 1, 3, 9 = 13$ .

$\sum_{}^{} f = n = 13$

Step 7

Найдем сумму значений столбца $f \cdot M^{2}$ . В этом случае $36 + 675 + 5184 = 5895$ .

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 5895$

Step 8

Найдем среднее значение $μ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем среднюю точку $M$ для каждого класса.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 2 - 10 & 1 & 6 \\ 11 - 19 & 3 & 15 \\ 20 - 28 & 9 & 24 \end{array}$

Умножим частоту каждого класса на среднюю точку класса.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 1 \cdot 6 \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 3 \cdot 15 \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 9 \cdot 24 \end{array}$

Упростим столбец $f \cdot M$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 6 \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 45 \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 216 \end{array}$

Сложим значения в столбце $f \cdot M$ .

$6 + 45 + 216 = 267$

Сложим значения в столбце частот.

$n = 1 + 3 + 9 = 13$

Среднее значение (mu) представляет собой сумму $f \cdot M$ , деленную на $n$ , которая является суммой частот.

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

Среднее значение ― это сумма средних точек, умноженных на частоту, деленная на сумму частот.

$μ = \frac{267}{13}$

Упростим правую часть $μ = \frac{267}{13}$ .

$20.53846153$

Step 9

Уравнение стандартного отклонения: $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

Step 10

Подставим вычисленные значения в $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{5895 - 13 {(20.53846153)}^{2}}{13 - 1}$

Step 11

Упростим правую часть $S^{2} = \frac{5895 - 13 {(20.53846153)}^{2}}{13 - 1}$ , чтобы получить дисперсию $S^{2} = 34.26923076$ .

$34.26923076$

Step 12

Стандартное отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии $34.26923076$ . В данном случае стандартное отклонение равно $5.85399272$ .

$5.85399272$