Статистика Примеры

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 6 & 0.1 \\ 9 & 0.2 \\ 13 & 0.3 \\ 16 & 0.4 \end{array}$

Step 1

Докажем, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам, необходимым для распределения вероятностей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Дискретная случайная переменная $x$ принимает множество отдельных значений (таких как $0$ , $1$ , $2$ ...). Ее распределение вероятности присваивает вероятность $P (x)$ каждому возможному значению $x$ . Для каждого $x$ вероятность $P (x)$ находится между $0$ и $1$ включительно, а сумма вероятностей для всех возможных значений $x$ равна $1$ .

1. Для каждого $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

$0.1$ принимает значение между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0.1$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

$0.2$ принимает значение между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0.2$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

$0.3$ принимает значение между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0.3$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

$0.4$ принимает значение между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0.4$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

Для каждого $x$ вероятность $P (x)$ находится между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений x

Найдем сумму вероятностей для всех возможных значений $x$ .

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4$

Сумма вероятностей для всех возможных значений $x$ равна $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $0.1$ и $0.2$ .

$0.3 + 0.3 + 0.4$

Добавим $0.3$ и $0.3$ .

$0.6 + 0.4$

Добавим $0.6$ и $0.4$ .

$1$

Для каждого $x$ вероятность $P (x)$ находится между $0$ и $1$ включительно. Кроме того, сумма вероятностей для всех возможных значений $x$ равна $1$ . Это означает, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей.

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений $x$

Свойство 2: $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений $x$

Свойство 2: $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$

Step 2

Математическое ожидание распределения ― это ожидаемое значение при стремлении числа испытаний к бесконечности. Оно равно каждому значению, умноженному на его дискретную вероятность.

$u = 6 \cdot 0.1 + 9 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

Step 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $6$ на $0.1$ .

$u = 0.6 + 9 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

Умножим $9$ на $0.2$ .

$u = 0.6 + 1.8 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

Умножим $13$ на $0.3$ .

$u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 16 \cdot 0.4$

Умножим $16$ на $0.4$ .

$u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 6.4$

Step 4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $0.6$ и $1.8$ .

$u = 2.4 + 3.9 + 6.4$

Добавим $2.4$ и $3.9$ .

$u = 6.3 + 6.4$

Добавим $6.3$ и $6.4$ .

$u = 12.7$

Step 5

Дисперсия распределения ― это мера разброса. Она равна квадрату стандартного отклонения.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Step 6

Подставим известные значения.

${(6 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Step 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $12.7$ .

${(6 - 12.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Вычтем $12.7$ из $6$ .

${(- 6.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Возведем $- 6.7$ в степень $2$ .

$44.89 \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Умножим $44.89$ на $0.1$ .

$4.489 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Умножим $- 1$ на $12.7$ .

$4.489 + {(9 - 12.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Вычтем $12.7$ из $9$ .

$4.489 + {(- 3.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Возведем $- 3.7$ в степень $2$ .

$4.489 + 13.69 \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Умножим $13.69$ на $0.2$ .

$4.489 + 2.738 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Умножим $- 1$ на $12.7$ .

$4.489 + 2.738 + {(13 - 12.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Вычтем $12.7$ из $13$ .

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Умножим ${0.3}^{2}$ на $0.3$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим ${0.3}^{2}$ на $0.3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $0.3$ в степень $1$ .

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2} \cdot {0.3}^{1} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2 + 1} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Добавим $2$ и $1$ .

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{3} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Возведем $0.3$ в степень $3$ .

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Умножим $- 1$ на $12.7$ .

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {(16 - 12.7)}^{2} \cdot 0.4$

Вычтем $12.7$ из $16$ .

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {3.3}^{2} \cdot 0.4$

Возведем $3.3$ в степень $2$ .

$4.489 + 2.738 + 0.027 + 10.89 \cdot 0.4$

Умножим $10.89$ на $0.4$ .

$4.489 + 2.738 + 0.027 + 4.356$

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $4.489$ и $2.738$ .

$7.227 + 0.027 + 4.356$

Добавим $7.227$ и $0.027$ .

$7.254 + 4.356$

Добавим $7.254$ и $4.356$ .

$11.61$