Статистика Примеры

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 2 & 0.2 \\ 4 & 0.2 \\ 9 & 0.1 \\ 12 & 0.2 \\ 17 & 0.2 \\ 21 & 0.1 \end{array}$

Step 1

Докажем, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам, необходимым для распределения вероятностей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Дискретная случайная переменная $x$ принимает множество отдельных значений (таких как $0$ , $1$ , $2$ ...). Ее распределение вероятности присваивает вероятность $P (x)$ каждому возможному значению $x$ . Для каждого $x$ вероятность $P (x)$ находится между $0$ и $1$ включительно, а сумма вероятностей для всех возможных значений $x$ равна $1$ .

1. Для каждого $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

$0.2$ принимает значение между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0.2$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

$0.1$ принимает значение между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0.1$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

$0.2$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

$0.1$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

Для каждого $x$ вероятность $P (x)$ находится между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений x

Найдем сумму вероятностей для всех возможных значений $x$ .

$0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1$

Сумма вероятностей для всех возможных значений $x$ равна $0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $0.2$ и $0.2$ .

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1$

Добавим $0.4$ и $0.1$ .

$0.5 + 0.2 + 0.2 + 0.1$

Добавим $0.5$ и $0.2$ .

$0.7 + 0.2 + 0.1$

Добавим $0.7$ и $0.2$ .

$0.9 + 0.1$

Добавим $0.9$ и $0.1$ .

$1$

Для каждого $x$ вероятность $P (x)$ находится между $0$ и $1$ включительно. Кроме того, сумма вероятностей для всех возможных значений $x$ равна $1$ . Это означает, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей.

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений $x$

Свойство 2: $0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1$

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений $x$

Свойство 2: $0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1$

Step 2

Математическое ожидание распределения ― это ожидаемое значение при стремлении числа испытаний к бесконечности. Оно равно каждому значению, умноженному на его дискретную вероятность.

$Expectation = 2 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

Step 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $0.2$ .

$Expectation = 0.4 + 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

Умножим $4$ на $0.2$ .

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

Умножим $9$ на $0.1$ .

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

Умножим $12$ на $0.2$ .

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

Умножим $17$ на $0.2$ .

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 21 \cdot 0.1$

Умножим $21$ на $0.1$ .

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 2.1$

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $0.4$ и $0.8$ .

$Expectation = 1.2 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 2.1$

Добавим $1.2$ и $0.9$ .

$Expectation = 2.1 + 2.4 + 3.4 + 2.1$

Добавим $2.1$ и $2.4$ .

$Expectation = 4.5 + 3.4 + 2.1$

Добавим $4.5$ и $3.4$ .

$Expectation = 7.9 + 2.1$

Добавим $7.9$ и $2.1$ .

$Expectation = 10$