Статистика Примеры

$\begin{array}{c} Class & Frequency \\ 360 - 369 & 2 \\ 370 - 379 & 3 \\ 380 - 389 & 5 \\ 390 - 399 & 7 \\ 400 - 409 & 5 \\ 410 - 419 & 4 \\ 420 - 429 & 4 \\ 430 - 439 & 1 \end{array}$

Step 1

Найдем среднюю точку $M$ для каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Нижний предел для каждого класса является наименьшим значением в этом классе. С другой стороны, верхний предел для каждого класса является наибольшим значением в этом классе.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 360 - 369 & 2 & 360 & 369 \\ 370 - 379 & 3 & 370 & 379 \\ 380 - 389 & 5 & 380 & 389 \\ 390 - 399 & 7 & 390 & 399 \\ 400 - 409 & 5 & 400 & 409 \\ 410 - 419 & 4 & 410 & 419 \\ 420 - 429 & 4 & 420 & 429 \\ 430 - 439 & 1 & 430 & 439 \end{array}$

Средняя точка класса ― это сумма нижнего и верхнего пределов класса, поделенная на $2$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 360 - 369 & 2 & 360 & 369 & \frac{360 + 369}{2} \\ 370 - 379 & 3 & 370 & 379 & \frac{370 + 379}{2} \\ 380 - 389 & 5 & 380 & 389 & \frac{380 + 389}{2} \\ 390 - 399 & 7 & 390 & 399 & \frac{390 + 399}{2} \\ 400 - 409 & 5 & 400 & 409 & \frac{400 + 409}{2} \\ 410 - 419 & 4 & 410 & 419 & \frac{410 + 419}{2} \\ 420 - 429 & 4 & 420 & 429 & \frac{420 + 429}{2} \\ 430 - 439 & 1 & 430 & 439 & \frac{430 + 439}{2} \end{array}$

Упростим весь средний столбец.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 360 - 369 & 2 & 360 & 369 & 364.5 \\ 370 - 379 & 3 & 370 & 379 & 374.5 \\ 380 - 389 & 5 & 380 & 389 & 384.5 \\ 390 - 399 & 7 & 390 & 399 & 394.5 \\ 400 - 409 & 5 & 400 & 409 & 404.5 \\ 410 - 419 & 4 & 410 & 419 & 414.5 \\ 420 - 429 & 4 & 420 & 429 & 424.5 \\ 430 - 439 & 1 & 430 & 439 & 434.5 \end{array}$

Добавим столбец средних точек в исходную таблицу.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 360 - 369 & 2 & 364.5 \\ 370 - 379 & 3 & 374.5 \\ 380 - 389 & 5 & 384.5 \\ 390 - 399 & 7 & 394.5 \\ 400 - 409 & 5 & 404.5 \\ 410 - 419 & 4 & 414.5 \\ 420 - 429 & 4 & 424.5 \\ 430 - 439 & 1 & 434.5 \end{array}$

Step 2

Вычислим квадрат средней точки каждой группы $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 360 - 369 & 2 & 364.5 & {364.5}^{2} \\ 370 - 379 & 3 & 374.5 & {374.5}^{2} \\ 380 - 389 & 5 & 384.5 & {384.5}^{2} \\ 390 - 399 & 7 & 394.5 & {394.5}^{2} \\ 400 - 409 & 5 & 404.5 & {404.5}^{2} \\ 410 - 419 & 4 & 414.5 & {414.5}^{2} \\ 420 - 429 & 4 & 424.5 & {424.5}^{2} \\ 430 - 439 & 1 & 434.5 & {434.5}^{2} \end{array}$

Step 3

Упростим столбец $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 360 - 369 & 2 & 364.5 & 132860.25 \\ 370 - 379 & 3 & 374.5 & 140250.25 \\ 380 - 389 & 5 & 384.5 & 147840.25 \\ 390 - 399 & 7 & 394.5 & 155630.25 \\ 400 - 409 & 5 & 404.5 & 163620.25 \\ 410 - 419 & 4 & 414.5 & 171810.25 \\ 420 - 429 & 4 & 424.5 & 180200.25 \\ 430 - 439 & 1 & 434.5 & 188790.25 \end{array}$

Step 4

Умножим квадрат каждой средней точки на ее частоту $f$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 360 - 369 & 2 & 364.5 & 132860.25 & 2 \cdot 132860.25 \\ 370 - 379 & 3 & 374.5 & 140250.25 & 3 \cdot 140250.25 \\ 380 - 389 & 5 & 384.5 & 147840.25 & 5 \cdot 147840.25 \\ 390 - 399 & 7 & 394.5 & 155630.25 & 7 \cdot 155630.25 \\ 400 - 409 & 5 & 404.5 & 163620.25 & 5 \cdot 163620.25 \\ 410 - 419 & 4 & 414.5 & 171810.25 & 4 \cdot 171810.25 \\ 420 - 429 & 4 & 424.5 & 180200.25 & 4 \cdot 180200.25 \\ 430 - 439 & 1 & 434.5 & 188790.25 & 1 \cdot 188790.25 \end{array}$

Step 5

Упростим столбец $f \cdot M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 360 - 369 & 2 & 364.5 & 132860.25 & 265720.5 \\ 370 - 379 & 3 & 374.5 & 140250.25 & 420750.75 \\ 380 - 389 & 5 & 384.5 & 147840.25 & 739201.25 \\ 390 - 399 & 7 & 394.5 & 155630.25 & 1089411.75 \\ 400 - 409 & 5 & 404.5 & 163620.25 & 818101.25 \\ 410 - 419 & 4 & 414.5 & 171810.25 & 687241 \\ 420 - 429 & 4 & 424.5 & 180200.25 & 720801 \\ 430 - 439 & 1 & 434.5 & 188790.25 & 188790.25 \end{array}$

Step 6

Найдем сумму всех частот. В этом случае сумма всех частот равна $n = 2, 3, 5, 7, 5, 4, 4, 1 = 31$ .

$\sum_{}^{} f = n = 31$

Step 7

Найдем сумму значений столбца $f \cdot M^{2}$ . В этом случае $265720.5 + 420750.75 + 739201.25 + 1089411.75 + 818101.25 + 687241 + 720801 + 188790.25 = 4930017.75$ .

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 4930017.75$

Step 8

Найдем среднее значение $μ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем среднюю точку $M$ для каждого класса.

Умножим частоту каждого класса на среднюю точку класса.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 360 - 369 & 2 & 364.5 & 2 \cdot 364.5 \\ 370 - 379 & 3 & 374.5 & 3 \cdot 374.5 \\ 380 - 389 & 5 & 384.5 & 5 \cdot 384.5 \\ 390 - 399 & 7 & 394.5 & 7 \cdot 394.5 \\ 400 - 409 & 5 & 404.5 & 5 \cdot 404.5 \\ 410 - 419 & 4 & 414.5 & 4 \cdot 414.5 \\ 420 - 429 & 4 & 424.5 & 4 \cdot 424.5 \\ 430 - 439 & 1 & 434.5 & 1 \cdot 434.5 \end{array}$

Упростим столбец $f \cdot M$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 360 - 369 & 2 & 364.5 & 729 \\ 370 - 379 & 3 & 374.5 & 1123.5 \\ 380 - 389 & 5 & 384.5 & 1922.5 \\ 390 - 399 & 7 & 394.5 & 2761.5 \\ 400 - 409 & 5 & 404.5 & 2022.5 \\ 410 - 419 & 4 & 414.5 & 1658 \\ 420 - 429 & 4 & 424.5 & 1698 \\ 430 - 439 & 1 & 434.5 & 434.5 \end{array}$

Сложим значения в столбце $f \cdot M$ .

$729 + 1123.5 + 1922.5 + 2761.5 + 2022.5 + 1658 + 1698 + 434.5 = 12349.5$

Сложим значения в столбце частот.

$n = 2 + 3 + 5 + 7 + 5 + 4 + 4 + 1 = 31$

Среднее значение (mu) представляет собой сумму $f \cdot M$ , деленную на $n$ , которая является суммой частот.

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

Среднее значение ― это сумма средних точек, умноженных на частоту, деленная на сумму частот.

$μ = \frac{12349.5}{31}$

Упростим правую часть $μ = \frac{12349.5}{31}$ .

$398.37096774$

Step 9

Уравнение стандартного отклонения: $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

Step 10

Подставим вычисленные значения в $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{4930017.75 - 31 {(398.37096774)}^{2}}{31 - 1}$

Step 11

Упростим правую часть $S^{2} = \frac{4930017.75 - 31 {(398.37096774)}^{2}}{31 - 1}$ , чтобы получить дисперсию $S^{2} = 344.51612903$ .

$344.51612903$