Статистика Примеры

$\begin{array}{c} Class & Frequency \\ 19.55 - 21.82 & 3 \\ 21.83 - 24.1 & 5 \\ 24.11 - 26.38 & 9 \\ 26.39 - 28.66 & 6 \\ 28.67 - 30.94 & 2 \end{array}$

Step 1

Найдем среднюю точку $M$ для каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Нижний предел для каждого класса является наименьшим значением в этом классе. С другой стороны, верхний предел для каждого класса является наибольшим значением в этом классе.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 19.55 - 21.82 & 3 & 19.55 & 21.82 \\ 21.83 - 24.1 & 5 & 21.83 & 24.1 \\ 24.11 - 26.38 & 9 & 24.11 & 26.38 \\ 26.39 - 28.66 & 6 & 26.39 & 28.66 \\ 28.67 - 30.94 & 2 & 28.67 & 30.94 \end{array}$

Средняя точка класса ― это сумма нижнего и верхнего пределов класса, поделенная на $2$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 19.55 - 21.82 & 3 & 19.55 & 21.82 & \frac{19.55 + 21.82}{2} \\ 21.83 - 24.1 & 5 & 21.83 & 24.1 & \frac{21.83 + 24.1}{2} \\ 24.11 - 26.38 & 9 & 24.11 & 26.38 & \frac{24.11 + 26.38}{2} \\ 26.39 - 28.66 & 6 & 26.39 & 28.66 & \frac{26.39 + 28.66}{2} \\ 28.67 - 30.94 & 2 & 28.67 & 30.94 & \frac{28.67 + 30.94}{2} \end{array}$

Упростим весь средний столбец.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 19.55 - 21.82 & 3 & 19.55 & 21.82 & 20.685 \\ 21.83 - 24.1 & 5 & 21.83 & 24.1 & 22.965 \\ 24.11 - 26.38 & 9 & 24.11 & 26.38 & 25.245 \\ 26.39 - 28.66 & 6 & 26.39 & 28.66 & 27.525 \\ 28.67 - 30.94 & 2 & 28.67 & 30.94 & 29.805 \end{array}$

Добавим столбец средних точек в исходную таблицу.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 19.55 - 21.82 & 3 & 20.685 \\ 21.83 - 24.1 & 5 & 22.965 \\ 24.11 - 26.38 & 9 & 25.245 \\ 26.39 - 28.66 & 6 & 27.525 \\ 28.67 - 30.94 & 2 & 29.805 \end{array}$

Step 2

Вычислим квадрат средней точки каждой группы $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 19.55 - 21.82 & 3 & 20.685 & {20.685}^{2} \\ 21.83 - 24.1 & 5 & 22.965 & {22.965}^{2} \\ 24.11 - 26.38 & 9 & 25.245 & {25.245}^{2} \\ 26.39 - 28.66 & 6 & 27.525 & {27.525}^{2} \\ 28.67 - 30.94 & 2 & 29.805 & {29.805}^{2} \end{array}$

Step 3

Упростим столбец $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 19.55 - 21.82 & 3 & 20.685 & 427.869225 \\ 21.83 - 24.1 & 5 & 22.965 & 527.391225 \\ 24.11 - 26.38 & 9 & 25.245 & 637.310025 \\ 26.39 - 28.66 & 6 & 27.525 & 757.625624\overline{9} \\ 28.67 - 30.94 & 2 & 29.805 & 888.338025 \end{array}$

Step 4

Умножим квадрат каждой средней точки на ее частоту $f$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 19.55 - 21.82 & 3 & 20.685 & 427.869225 & 3 \cdot 427.869225 \\ 21.83 - 24.1 & 5 & 22.965 & 527.391225 & 5 \cdot 527.391225 \\ 24.11 - 26.38 & 9 & 25.245 & 637.310025 & 9 \cdot 637.310025 \\ 26.39 - 28.66 & 6 & 27.525 & 757.625624\overline{9} & 6 \cdot 757.625624\overline{9} \\ 28.67 - 30.94 & 2 & 29.805 & 888.338025 & 2 \cdot 888.338025 \end{array}$

Step 5

Упростим столбец $f \cdot M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 19.55 - 21.82 & 3 & 20.685 & 427.869225 & 1283.607675 \\ 21.83 - 24.1 & 5 & 22.965 & 527.391225 & 2636.956124\overline{9} \\ 24.11 - 26.38 & 9 & 25.245 & 637.310025 & 5735.790225 \\ 26.39 - 28.66 & 6 & 27.525 & 757.625624\overline{9} & 4545.75375 \\ 28.67 - 30.94 & 2 & 29.805 & 888.338025 & 1776.67605 \end{array}$

Step 6

Найдем сумму всех частот. В этом случае сумма всех частот равна $n = 3, 5, 9, 6, 2 = 25$ .

$\sum_{}^{} f = n = 25$

Step 7

Найдем сумму значений столбца $f \cdot M^{2}$ . В этом случае $1283.607675 + 2636.956124\overline{9} + 5735.790225 + 4545.75375 + 1776.67605 = 15978.783825$ .

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 15978.783825$

Step 8

Найдем среднее значение $μ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем среднюю точку $M$ для каждого класса.

Умножим частоту каждого класса на среднюю точку класса.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 19.55 - 21.82 & 3 & 20.685 & 3 \cdot 20.685 \\ 21.83 - 24.1 & 5 & 22.965 & 5 \cdot 22.965 \\ 24.11 - 26.38 & 9 & 25.245 & 9 \cdot 25.245 \\ 26.39 - 28.66 & 6 & 27.525 & 6 \cdot 27.525 \\ 28.67 - 30.94 & 2 & 29.805 & 2 \cdot 29.805 \end{array}$

Упростим столбец $f \cdot M$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 19.55 - 21.82 & 3 & 20.685 & 62.054\overline{9} \\ 21.83 - 24.1 & 5 & 22.965 & 114.825 \\ 24.11 - 26.38 & 9 & 25.245 & 227.205 \\ 26.39 - 28.66 & 6 & 27.525 & 165.14\overline{9} \\ 28.67 - 30.94 & 2 & 29.805 & 59.61 \end{array}$

Сложим значения в столбце $f \cdot M$ .

$62.054\overline{9} + 114.825 + 227.205 + 165.14\overline{9} + 59.61 = 628.845$

Сложим значения в столбце частот.

$n = 3 + 5 + 9 + 6 + 2 = 25$

Среднее значение (mu) представляет собой сумму $f \cdot M$ , деленную на $n$ , которая является суммой частот.

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

Среднее значение ― это сумма средних точек, умноженных на частоту, деленная на сумму частот.

$μ = \frac{628.845}{25}$

Упростим правую часть $μ = \frac{628.845}{25}$ .

$25.1538$

Step 9

Уравнение стандартного отклонения: $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

Step 10

Подставим вычисленные значения в $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{15978.783825 - 25 {(25.1538)}^{2}}{25 - 1}$

Step 11

Упростим правую часть $S^{2} = \frac{15978.783825 - 25 {(25.1538)}^{2}}{25 - 1}$ , чтобы получить дисперсию $S^{2} = 6.705935\overline{9}$ .

$6.705935\overline{9}$