Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{3 (x - 8)}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{2} + 1}{3 (x - 8)}$ не определено.

$x = 8$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{3 (x) - 24}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 24$ .

$\frac{x^{2} + 1}{3 x + 3 \cdot - 8}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot - 8$ .

$\frac{x^{2} + 1}{3 (x - 8)}$

Этап 5.2

Развернем $3 (x - 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 1}{3 x + 3 \cdot - 8}$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $- 8$ .

$\frac{x^{2} + 1}{3 x - 24}$

Этап 5.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$24$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 5.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Этап 5.5

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$8 x$

Этап 5.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - 8 x$ .

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$

Этап 5.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$

Этап 5.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$	+	$1$

Этап 5.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{8}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$	+	$1$

Этап 5.10

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{8}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$	+	$1$
					+	$8 x$	-	$64$

Этап 5.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x - 64$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{8}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$	+	$1$
					-	$8 x$	+	$64$

Этап 5.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{8}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$	+	$1$
					-	$8 x$	+	$64$
							+	$65$

Этап 5.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{x}{3} + \frac{8}{3} + \frac{65}{3 x - 24}$

Этап 5.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = \frac{x}{3} + \frac{8}{3}$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 8$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = \frac{x}{3} + \frac{8}{3}$

Этап 7