Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} + 4 x}{- x - 4}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{2} + 4 x}{- x - 4}$ не определено.

$x = - 4$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 4 x}{- x - 4}$

Этап 6.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4}{- x - 4}$

Этап 6.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$\frac{x (x + 4)}{- x - 4}$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель $x + 4$ и $- x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{x (- 1 (- x) + 4)}{- x - 4}$

Этап 6.1.2.2

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{x (- 1 (- x) - 1 (- 4))}{- x - 4}$

Этап 6.1.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{x (- 1 (- x - 4))}{- x - 4}$

Этап 6.1.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- 1 (- x - 4))}{- x - 4}$

Этап 6.1.2.5

Разделим $x \cdot (- 1)$ на $1$ .

$x \cdot (- 1)$

Этап 6.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$- 1 x$

Этап 6.1.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- x$

Этап 6.2

Так как при делении многочленов нет полиномиальной части, наклонные асимптоты отсутствуют.

Нет наклонных асимптот

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Этап 8