Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{3} + 1}{3 x + 6}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{3} + 1}{3 x + 6}$ не определено.

$x = - 2$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{3 x + 6}$

Этап 5.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{3 x + 6}$

Этап 5.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{3 x + 6}$

Этап 5.1.1.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{3 x + 6}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{3 (x) + 6}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{3 x + 3 \cdot 2}$

Этап 5.1.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2

Развернем $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.6

Избавимся от скобок.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.7

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.8

Изменим порядок $x$ и $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.9

Избавимся от скобок.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.10

Умножим $- 1$ на $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.13

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.14

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.18

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.19

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.20

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.21

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.22

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.23

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.24

Перенесем $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.25

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.26

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.27

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.2.28

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$\frac{x^{3} + 1}{3 (x + 2)}$

Этап 5.3

Развернем $3 (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + 1}{3 x + 3 \cdot 2}$

Этап 5.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{x^{3} + 1}{3 x + 6}$

Этап 5.4

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$6$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 5.5

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$\frac{x^{2}}{3}$
	$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Этап 5.6

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{x^{2}}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 5.7

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$\frac{x^{2}}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 5.8

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{x^{2}}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 5.9

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$\frac{x^{2}}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 5.10

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 5.11

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 5.12

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} - 4 x$ .

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 5.13

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Этап 5.14

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$

Этап 5.15

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$	+	$\frac{4}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$

Этап 5.16

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$	+	$\frac{4}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$
							+	$4 x$	+	$8$

Этап 5.17

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x + 8$ .

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$	+	$\frac{4}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$
							-	$4 x$	-	$8$

Этап 5.18

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$	+	$\frac{4}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$
							-	$4 x$	-	$8$
									-	$7$

Этап 5.19

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} - \frac{7}{3 x + 6}$

Этап 5.20

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 2$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 7