Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{- 5 x + 15}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{2} - 7 x + 12}{- 5 x + 15}$ не определено.

$x = 3$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разложим $x^{2} - 7 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 7$ .

$- 4, - 3$

Этап 6.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 4) (x - 3)}{- 5 x + 15}$

Этап 6.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x$ .

$\frac{(x - 4) (x - 3)}{5 (- x) + 15}$

Этап 6.1.2.1.2

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$\frac{(x - 4) (x - 3)}{5 (- x) + 5 (3)}$

Этап 6.1.2.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (- x) + 5 (3)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 3)}{5 (- x + 3)}$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель $x - 3$ и $- x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x) - 3)}{5 (- x + 3)}$

Этап 6.1.2.2.2

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x) - 1 (3))}{5 (- x + 3)}$

Этап 6.1.2.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - 1 (3)$ .

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x + 3))}{5 (- x + 3)}$

Этап 6.1.2.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x + 3))}{5 (- x + 3)}$

Этап 6.1.2.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{(x - 4) \cdot (- 1)}{5}$

Этап 6.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $x - 4$ .

$\frac{- 1 \cdot (x - 4)}{5}$

Этап 6.1.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x - 4}{5}$

Этап 6.2

Развернем $- (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Изменим знак $x - 4$ на противоположный.

$\frac{- (x - 4)}{5}$

Этап 6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x + 4}{5}$

Этап 6.2.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{- x + 4}{5}$

Этап 6.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$5$

$x$

$4$

Этап 6.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $5$ .

		-	$\frac{x}{5}$
	$5$	-	$x$	+	$4$

Этап 6.5

Умножим новое частное на делитель.

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$4$
	-	$x$

Этап 6.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x$ .

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$4$
	+	$x$

Этап 6.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$4$
	+	$x$
		$0$

Этап 6.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$4$
	+	$x$
		$0$	+	$4$

Этап 6.9

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- \frac{x}{5} + \frac{4}{5}$

Этап 6.10

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = - \frac{x}{5}$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = - \frac{x}{5}$

Этап 8