Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = \log (4 x - x^{2})$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log (4 x - x^{2})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$4 x - x^{2} > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 x - x^{2} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$x \cdot 4 - x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$x \cdot 4 + x (- x) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 4 + x (- x)$ .

$x (4 - x) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$4 - x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $4 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $4 - x$ к $0$ .

$4 - x = 0$

Этап 2.5.2

Решим $4 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (4 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$4 (- 2) - {(- 2)}^{2} > 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $- 12$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$4 (2) - {(2)}^{2} > 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $4$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$4 (6) - {(6)}^{2} > 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $- 12$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < 4$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, 4)$

Обозначение построения множества:

${x | 0 < x < 4}$

Этап 4