Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{\frac{3 - x}{x + 2}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{3 - x}{x + 2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{3 - x}{x + 2} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 - x = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 2.4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 3$

$x = - 2$

Этап 2.6

Объединим решения.

$x = 3, - 2$

Этап 2.7

Найдем область определения $\frac{3 - x}{x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 - x}{x + 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 2 = 0$

Этап 2.7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Этап 2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

Этап 2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 - (- 4)}{(- 4) + 2} \geq 0$

Этап 2.9.1.3

Левая часть $- 3.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.9.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 - (0)}{(0) + 2} \geq 0$

Этап 2.9.2.3

Левая часть $1.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.9.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.9.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 - (6)}{(6) + 2} \geq 0$

Этап 2.9.3.3

Левая часть $- 0.375$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 < x \leq 3$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{3 - x}{x + 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 2 = 0$

Этап 4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 2, 3]$

Обозначение построения множества:

${x | - 2 < x \leq 3}$

Этап 6