Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ не определено.

$x = - 2, x = 0$

Этап 2

Поскольку $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 2$ слева, а $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 2$ справа, то $x = - 2$ — вертикальная асимптота.

$x = - 2$

Этап 3

Поскольку $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $0$ слева, а $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ справа, то $x = 0$ — вертикальная асимптота.

$x = 0$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 2, 0$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x (x + 2)}$

Этап 8.2

Развернем $x (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

Этап 8.2.2

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Этап 8.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Этап 8.2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Этап 8.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{1 + 1} + 2 x}$

Этап 8.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$

Этап 8.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 8.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 8.5

Умножим новое частное на делитель.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

Этап 8.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} + 6 x^{2} + 0$ .

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

Этап 8.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

Этап 8.8

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

Этап 8.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 5 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

						$3 x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$0$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Этап 8.10

Умножим новое частное на делитель.

						$3 x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$0$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$1$
							-	$5 x^{2}$	-	$10 x$	+	$0$

Этап 8.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 5 x^{2} - 10 x + 0$ .

$3 x$

$5$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

$5 x^{2}$

$10 x$

$0$

Этап 8.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x$

$5$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

$5 x^{2}$

$10 x$

$0$

$10 x$

$1$

Этап 8.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$3 x - 5 + \frac{10 x + 1}{x^{2} + 2 x}$

Этап 8.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 3 x - 5$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 2, 0$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 3 x - 5$

Этап 10