Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{x^{2} - 2 x - 2} + \sqrt{2 x - 3} = 5$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} - 2 x - 2}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 2 x - 2 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Этап 2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Этап 2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Этап 2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + \sqrt{3}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Этап 2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - \sqrt{3}$

Этап 2.7

Объединим решения.

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Этап 2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 1 - \sqrt{3}$

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$

$x > 1 + \sqrt{3}$

Этап 2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Проверим значение на интервале $x < 1 - \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < 1 - \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

${(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 - 2 \geq 0$

Этап 2.9.1.3

Левая часть $13$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.9.2

Проверим значение на интервале $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Выберем значение на интервале $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 2 \geq 0$

Этап 2.9.2.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.9.3

Проверим значение на интервале $x > 1 + \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1 + \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 2.9.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

${(5)}^{2} - 2 \cdot 5 - 2 \geq 0$

Этап 2.9.3.3

Левая часть $13$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 1 - \sqrt{3}$ Истина

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ Ложь

$x > 1 + \sqrt{3}$ Истина

$x < 1 - \sqrt{3}$ Истина

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ Ложь

$x > 1 + \sqrt{3}$ Истина

Этап 2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 1 - \sqrt{3}$ или $x \geq 1 + \sqrt{3}$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 x - 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 x - 3 \geq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$2 x \geq 3$

Этап 4.2

Разделим каждый член $2 x \geq 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $2 x \geq 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{3}{2}$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[1 + \sqrt{3}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 1 + \sqrt{3}}$

Этап 6