Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{(x + 2) {(x + 1)}^{3}}{(x + 2) {(x - 3)}^{2}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{(x + 2) {(x + 1)}^{3}}{(x + 2) {(x - 3)}^{2}}$ не определено.

$x = - 2, x = 3$

Этап 2

Поскольку $\frac{(x + 2) {(x + 1)}^{3}}{(x + 2) {(x - 3)}^{2}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $3$ слева, а $\frac{(x + 2) {(x + 1)}^{3}}{(x + 2) {(x - 3)}^{2}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $3$ справа, то $x = 3$ — вертикальная асимптота.

$x = 3$

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 4$

$m = 3$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

Этап 6.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

Этап 6.3

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

Этап 6.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x$ .

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

Этап 6.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

Этап 6.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

Этап 6.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $9 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$x$

$9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

Этап 6.8

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$27 x$

$162$

Этап 6.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $9 x^{3} - 36 x^{2} - 27 x + 162$ .

$x$

$9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$27 x$

$162$

Этап 6.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$27 x$

$162$

$48 x^{2}$

$16 x$

$160$

Этап 6.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x + 9 + \frac{48 x^{2} + 16 x - 160}{x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18}$

Этап 6.12

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x + 9$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 3$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x + 9$

Этап 8