Основы мат. анализа Примеры

$\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ не определено.

$x = - 3, x = - 2, x = 1, x = 2$

Этап 2

Поскольку $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 3$ слева, а $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 3$ справа, то $x = - 3$ — вертикальная асимптота.

$x = - 3$

Этап 3

Поскольку $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 2$ слева, а $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 2$ справа, то $x = - 2$ — вертикальная асимптота.

$x = - 2$

Этап 4

Поскольку $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $2$ слева, а $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $2$ справа, то $x = 2$ — вертикальная асимптота.

$x = 2$

Этап 5

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 3, - 2, 2$

Этап 6

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 7

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 5$

$m = 4$

Этап 8

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 9

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

Этап 9.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{4}$ .

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

Этап 9.3

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

Этап 9.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{5} + 2 x^{4} - 7 x^{3} - 8 x^{2} + 12 x$ .

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

Этап 9.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

Этап 9.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

Этап 9.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 7 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{4}$ .

$x$

$7$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

Этап 9.8

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$7$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$49 x^{2}$

$56 x$

$84$

Этап 9.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 7 x^{4} - 14 x^{3} + 49 x^{2} + 56 x - 84$ .

$x$

$7$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$49 x^{2}$

$56 x$

$84$

Этап 9.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$7$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$49 x^{2}$

$56 x$

$84$

$23 x^{3}$

$27 x^{2}$

$71 x$

$75$

Этап 9.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x - 7 + \frac{23 x^{3} - 27 x^{2} - 71 x + 75}{x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 9.12

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x - 7$

Этап 10

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 3, - 2, 2$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x - 7$

Этап 11