Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$ не определено.

$x = \frac{3}{4}$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 24 \cdot 1 = 24$ , а сумма — $b = - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вынесем множитель $- 14$ из $- 14 x$ .

$\frac{24 x^{2} - 14 (x) + 1}{4 x - 3}$

Этап 5.1.1.2

Запишем $- 14$ как $- 2$ плюс $- 12$

$\frac{24 x^{2} + (- 2 - 12) x + 1}{4 x - 3}$

Этап 5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{24 x^{2} - 2 x - 12 x + 1}{4 x - 3}$

Этап 5.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(24 x^{2} - 2 x) - 12 x + 1}{4 x - 3}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 x (12 x - 1) - (12 x - 1)}{4 x - 3}$

Этап 5.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $12 x - 1$ .

$\frac{(12 x - 1) (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Этап 5.2

Развернем $(12 x - 1) (2 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Этап 5.2.4

Избавимся от скобок.

$\frac{12 x \cdot (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Этап 5.2.5

Перенесем $x$ .

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Этап 5.2.6

Перенесем $x$ .

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Этап 5.2.7

Избавимся от скобок.

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Этап 5.2.8

Умножим $12$ на $2$ .

$\frac{24 x \cdot x + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Этап 5.2.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Этап 5.2.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Этап 5.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{24 x^{1 + 1} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Этап 5.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{24 x^{2} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Этап 5.2.13

Умножим $12$ на $- 1$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Этап 5.2.14

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Этап 5.2.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x + 1}{4 x - 3}$

Этап 5.2.16

Вычтем $2 x$ из $- 12 x$ .

$\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

Этап 5.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$4 x$

$3$

$24 x^{2}$

$14 x$

$1$

Этап 5.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $24 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x$ .

					$6 x$
	$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$

Этап 5.5

Умножим новое частное на делитель.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			+	$24 x^{2}$	-	$18 x$

Этап 5.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $24 x^{2} - 18 x$ .

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$

Этап 5.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$

Этап 5.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Этап 5.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x$ .

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Этап 5.10

Умножим новое частное на делитель.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	-	$3$

Этап 5.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x - 3$ .

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$

Этап 5.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$
							+	$4$

Этап 5.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$6 x + 1 + \frac{4}{4 x - 3}$

Этап 5.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 6 x + 1$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{3}{4}$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 6 x + 1$

Этап 7