Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{4}}{2 x^{2}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{4}}{2 x^{2}}$ не определено.

$x = 0$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2}}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 2}$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 2}$

Этап 6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{2}$

Этап 6.2

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 6.3

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2$ .

			$\frac{x^{2}}{2}$
	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 6.4

Умножим новое частное на делитель.

		$\frac{x^{2}}{2}$
$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
	+	$x^{2}$

Этап 6.5

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2}$ .

		$\frac{x^{2}}{2}$
$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
	-	$x^{2}$

Этап 6.6

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

		$\frac{x^{2}}{2}$
$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
	-	$x^{2}$
		$0$

Этап 6.7

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

		$\frac{x^{2}}{2}$
$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
	-	$x^{2}$
		$0$	+	$0 x$

Этап 6.8

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$\frac{x^{2}}{2}$

Этап 6.9

Так как при делении многочленов нет полиномиальной части, наклонные асимптоты отсутствуют.

Нет наклонных асимптот

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Этап 8