Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ не определено.

$x = - 2, x = 3$

Этап 2

Поскольку $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 2$ слева, а $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 2$ справа, то $x = - 2$ — вертикальная асимптота.

$x = - 2$

Этап 3

Поскольку $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $3$ слева, а $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $3$ справа, то $x = 3$ — вертикальная асимптота.

$x = 3$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 2, 3$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Этап 8.1.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 16 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 16}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Этап 8.1.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ .

$\frac{x (x^{2} - 16)}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Этап 8.1.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 4^{2})}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Этап 8.1.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Этап 8.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} + 4 x + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2}) + 4 x + 24}$

Этап 8.1.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2}) + 4 (x) + 24}$

Этап 8.1.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2}) + 4 x + 4 \cdot 6}$

Этап 8.1.2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 x$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + x) + 4 \cdot 6}$

Этап 8.1.2.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2} + x) + 4 \cdot 6$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + x + 6)}$

Этап 8.1.2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.2.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + 1 x + 6)}$

Этап 8.1.2.2.1.2

Запишем $1$ как $- 2$ плюс $3$

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + (- 2 + 3) x + 6)}$

Этап 8.1.2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} - 2 x + 3 x + 6)}$

Этап 8.1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 ((- x^{2} - 2 x) + 3 x + 6)}$

Этап 8.1.2.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (x (- x - 2) - 3 (- x - 2))}$

Этап 8.1.2.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 2$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 ((- x - 2) (x - 3))}$

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x - 2) (x - 3)}$

Этап 8.1.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- (x) - 2) (x - 3)}$

Этап 8.1.3.2

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- (x) - 1 (2)) (x - 3)}$

Этап 8.1.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- (x + 2)) (x - 3)}$

Этап 8.1.3.4

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.4.1

Перепишем $- (x + 2)$ в виде $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- 1 (x + 2)) (x - 3)}$

Этап 8.1.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x (x + 4) (x - 4)}{(4 (x + 2)) (x - 3)}$

Этап 8.1.3.4.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{x (x + 4) (x - 4)}{(4 (x + 2)) (x - 3)}$ .

$- \frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2

Развернем $- x (x + 4) (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Изменим знак $x$ на противоположный.

$\frac{- x (x + 4) (x - 4)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- x \cdot x - x \cdot 4) (x - 4)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x \cdot x (x - 4) - x \cdot (4 (x - 4))}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x \cdot x \cdot x - x \cdot x \cdot - 4 - x \cdot (4 (x - 4))}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x \cdot x \cdot x - x \cdot x \cdot - 4 - x \cdot (4 x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.6

Перенесем $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - x \cdot (- 4 x) - x \cdot (4 x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.7

Перенесем $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - x \cdot (4 x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.8

Перенесем $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.9

Перенесем $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x) \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.10

Перенесем $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.11

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x^{1 + 1} x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.15

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- x^{2} x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.16

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- (x^{2} x) - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.17

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- (x^{2} x) - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x^{2 + 1} - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.19

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{- x^{3} - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.20

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x \cdot x - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.21

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.22

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.23

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x^{3} + 4 x^{1 + 1} - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.24

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.25

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x \cdot x - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.26

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.27

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.28

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{1 + 1} - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.29

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.30

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.31

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16 x}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.32

Вычтем $4 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} + 0 + 16 x}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.2.33

Добавим $0$ и $16 x$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Этап 8.3

Развернем $4 (x + 2) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{(4 x + 4 \cdot 2) (x - 3)}$

Этап 8.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x (x - 3) + 4 \cdot (2 (x - 3))}$

Этап 8.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + 4 \cdot (2 (x - 3))}$

Этап 8.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Этап 8.3.5

Перенесем $x$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x \cdot x + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Этап 8.3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Этап 8.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Этап 8.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{1 + 1} + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Этап 8.3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Этап 8.3.10

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Этап 8.3.11

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 8 x + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Этап 8.3.12

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 8 x + 8 \cdot - 3}$

Этап 8.3.13

Умножим $8$ на $- 3$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 8 x - 24}$

Этап 8.3.14

Добавим $- 12 x$ и $8 x$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 4 x - 24}$

Этап 8.4

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

Этап 8.5

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x^{2}$ .

						-	$\frac{x}{4}$
	$4 x^{2}$	-	$4 x$	-	$24$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$16 x$	+	$0$

Этап 8.6

Умножим новое частное на делитель.

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

Этап 8.7

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + x^{2} + 6 x$ .

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

Этап 8.8

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

Этап 8.9

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

$0$

Этап 8.10

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x^{2}$ .

$\frac{x}{4}$

$\frac{1}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

$0$

Этап 8.11

Умножим новое частное на делитель.

$\frac{x}{4}$

$\frac{1}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

$0$

$x^{2}$

$x$

$6$

Этап 8.12

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} + x + 6$ .

					-	$\frac{x}{4}$	-	$\frac{1}{4}$
$4 x^{2}$	-	$4 x$	-	$24$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$16 x$	+	$0$
					+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$6 x$
							-	$x^{2}$	+	$10 x$	+	$0$
							+	$x^{2}$	-	$x$	-	$6$

Этап 8.13

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

					-	$\frac{x}{4}$	-	$\frac{1}{4}$
$4 x^{2}$	-	$4 x$	-	$24$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$16 x$	+	$0$
					+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$6 x$
							-	$x^{2}$	+	$10 x$	+	$0$
							+	$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
									+	$9 x$	-	$6$

Этап 8.14

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{9 x - 6}{4 x^{2} - 4 x - 24}$

Этап 8.15

Разобьем решение на многочлен и остаток.

$- \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{- 9 x + 6}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Этап 8.16

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 2, 3$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 10