Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x + 3}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{2} - 5}{x + 3}$ не определено.

$x = - 3$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$5$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 3 x$ .

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	-	$5$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	-	$5$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					-	$3 x$	-	$9$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x - 9$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$9$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$9$
							+	$4$

Этап 5.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x - 3 + \frac{4}{x + 3}$

Этап 5.12

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x - 3$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 3$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x - 3$

Этап 7