Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{2} - 2 x - 1$

Этап 1

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{- 2}{2 (2)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{- 2}{2 (2)}$

Этап 2.3

Упростим $- \frac{- 2}{2 (2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 (2)}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.3

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{2})$

Этап 2.3.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем значение $f (\frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 {(\frac{1}{2})}^{2} - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Этап 3.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2^{2}}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Этап 3.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{4}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 (2)}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Этап 3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 (- 1) (\frac{1}{2}) - 1$

Этап 3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) - 1$

Этап 3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 1 - 1$

Этап 3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} - 1$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} - 1$

Этап 3.2.2.3

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - 1$

Этап 3.2.2.4

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 1}{1}$

Этап 3.2.2.5

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.2.2.6

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 - 2}{2}$

Этап 3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Этап 3.2.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

Этап 5