Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 16$

Этап 1

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{- 12}{2 (2)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{- 12}{2 (2)}$

Этап 2.3

Упростим $- \frac{- 12}{2 (2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 6}{2 (2)}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{- 6}{2}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{- 3}{1}$

Этап 2.3.2.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$x = - - 3$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$x = 3$

Этап 3

Найдем значение $f (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = 2 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 16$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = 2 \cdot 9 - 12 \cdot 3 + 16$

Этап 3.2.1.2

Умножим $2$ на $9$ .

$f (3) = 18 - 12 \cdot 3 + 16$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 12$ на $3$ .

$f (3) = 18 - 36 + 16$

Этап 3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $36$ из $18$ .

$f (3) = - 18 + 16$

Этап 3.2.2.2

Добавим $- 18$ и $16$ .

$f (3) = - 2$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(3, - 2)$

Этап 5