Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 5 x^{2} - 15 x$

Этап 1

Квадратичная функция достигает максимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает отрицательные значения, то максимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{- 15}{2 (- 5)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{- 15}{2 (- 5)}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $- 15$ и $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 15$ .

$x = - \frac{- 5 (3)}{2 (- 5)}$

Этап 2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $- 5$ из $2 (- 5)$ .

$x = - \frac{- 5 (3)}{- 5 \cdot 2}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{- 5 \cdot 3}{- 5 \cdot 2}$

Этап 2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 3

Найдем значение $f (- \frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 15 (- \frac{3}{2})$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 15 (- \frac{3}{2})$

Этап 3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 15 (- \frac{3}{2})$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 15 (- \frac{3}{2})$

Этап 3.2.1.3

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 15 (- \frac{3}{2})$

Этап 3.2.1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 \frac{9}{2^{2}} - 15 (- \frac{3}{2})$

Этап 3.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 (\frac{9}{4}) - 15 (- \frac{3}{2})$

Этап 3.2.1.6

Умножим $- 5 (\frac{9}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Объединим $- 5$ и $\frac{9}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 5 \cdot 9}{4} - 15 (- \frac{3}{2})$

Этап 3.2.1.6.2

Умножим $- 5$ на $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 45}{4} - 15 (- \frac{3}{2})$

Этап 3.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} - 15 (- \frac{3}{2})$

Этап 3.2.1.8

Умножим $- 15 (- \frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Умножим $- 1$ на $- 15$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + 15 (\frac{3}{2})$

Этап 3.2.1.8.2

Объединим $15$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{15 \cdot 3}{2}$

Этап 3.2.1.8.3

Умножим $15$ на $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{45}{2}$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $\frac{45}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{45}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $\frac{45}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{45 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 3.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{45 \cdot 2}{4}$

Этап 3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 45 + 45 \cdot 2}{4}$

Этап 3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $45$ на $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 45 + 90}{4}$

Этап 3.2.5.2

Добавим $- 45$ и $90$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{45}{4}$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $\frac{45}{4}$ .

$\frac{45}{4}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается максимум.

$(- \frac{3}{2}, \frac{45}{4})$

Этап 5