Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 10 - | x |$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $10 - | x |$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$ .

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Этап 1.1.2

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- | x |$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [| x |]$

Этап 1.2.2

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$0 - \frac{x}{| x |}$

Этап 1.3

Вычтем $\frac{x}{| x |}$ из $0$ .

$- \frac{x}{| x |}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{| x |} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.2

Умножим $| x |$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5

Объединим $\frac{x}{| x |}$ и $x$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot 0$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $\frac{x}{| x |}$ на $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

Этап 2.11.2

Добавим $- \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.1

Чтобы записать $| x |$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x |}{| x |} - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.3.1

Умножим $| x | | x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.3.1.1

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{1 + 1} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.2

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$f'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.3.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.1.4

Разделим $0$ на $| x |$ .

$f'' (x) = - \frac{0}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.12.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$f'' (x) = - \frac{0}{x^{2}}$

Этап 2.12.3

Разделим $0$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 0$

Этап 2.12.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f'' (x) = 0$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $10 - | x |$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$ .

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Этап 4.1.1.2

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- | x |$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [| x |]$

Этап 4.1.2.2

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$0 - \frac{x}{| x |}$

Этап 4.1.3

Вычтем $\frac{x}{| x |}$ из $0$ .

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x}{| x |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 5.3

Исключим решения, которые не делают $- \frac{x}{| x |} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{| x |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x | = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Этап 6.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$0$

Этап 9

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 9.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $- \frac{x}{| x |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{| - 2 |}$

Этап 9.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{2}$

Этап 9.2.2.2

Разделим $- 2$ на $2$ .

$f' (- 2) = 1$

Этап 9.2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 9.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $- \frac{x}{| x |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{| 2 |}$

Этап 9.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

Этап 9.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f' (2) = - 1 \cdot 1$

Этап 9.3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (2) = - 1$

Этап 9.3.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 9.4

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 10