Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + x - 4$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 3 x^{2} + x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.3.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 1 + 0$

Этап 1.3.3

Добавим $3 x^{2} + 6 x + 1$ и $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 6 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6 x + 6$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 6$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} + 6 x + 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.3.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 1 + 0$

Этап 4.1.3.3

Добавим $3 x^{2} + 6 x + 1$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 6 x + 1$ .

$3 x^{2} + 6 x + 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 6 x + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 1 = 0$

Этап 5.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3

Подставим значения $a = 3$ , $b = 6$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.3

Вычтем $12$ из $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$

Этап 5.4.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{6}}{3}$

Этап 5.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.3

Вычтем $12$ из $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$

Этап 5.5.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{6}}{3}$

Этап 5.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 3 + \sqrt{6}}{3}$

Этап 5.5.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{6}}{3}$

Этап 5.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{6})}{3}$

Этап 5.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{6})}{3}$

Этап 5.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$

Этап 5.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.3

Вычтем $12$ из $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{6}}{3}$

Этап 5.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 3 - \sqrt{6}}{3}$

Этап 5.6.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{6}}{3}$

Этап 5.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{6})}{3}$

Этап 5.6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (\sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{6})}{3}$

Этап 5.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{3 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) + 6$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ в числитель.

$6 \frac{- (3 - \sqrt{6})}{3} + 6$

Этап 9.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{- (3 - \sqrt{6})}{3} + 6$

Этап 9.1.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{- (3 - \sqrt{6})}{3} + 6$

Этап 9.1.1.4

Перепишем это выражение.

$2 (- (3 - \sqrt{6})) + 6$

Этап 9.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (3 - \sqrt{6}) + 6$

Этап 9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 3 - 2 (- \sqrt{6}) + 6$

Этап 9.1.4

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 6 - 2 (- \sqrt{6}) + 6$

Этап 9.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 6 + 2 \sqrt{6} + 6$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $- 6$ и $6$ .

$0 + 2 \sqrt{6}$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $2 \sqrt{6}$ .

$2 \sqrt{6}$

Этап 10

$x = - \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} - 4$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} - 4$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Запишем ${(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3}}{1} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} - 4$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} - 4$

Этап 11.2.2.3

Умножим $\frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} - 4$

Этап 11.2.2.4

Запишем $3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2}}{1} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} - 4$

Этап 11.2.2.5

Умножим $\frac{3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} - 4$

Этап 11.2.2.6

Умножим $\frac{3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} - 4$

Этап 11.2.2.7

Запишем $- 4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} + \frac{- 4}{1}$

Этап 11.2.2.8

Умножим $\frac{- 4}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 11.2.2.9

Умножим $\frac{- 4}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{3} (\frac{{(3 - \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}}) \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{{(3 - \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{{(3 - \sqrt{6})}^{3}}{27} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{{(3 - \sqrt{6})}^{3}}{27}$ в числитель.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- {(3 - \sqrt{6})}^{3}}{27} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.4.2

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- {(3 - \sqrt{6})}^{3}}{3 (9)} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.4.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- {(3 - \sqrt{6})}^{3}}{3 \cdot 9} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.4.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- {(3 - \sqrt{6})}^{3}}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.5

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (3^{3} + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{6})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.6.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{6})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.2

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.6.2.1

Умножим $3$ на $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.6.2.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

Этап 11.2.4.6.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 3^{1 + 2} (- \sqrt{6}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 3^{3} (- \sqrt{6}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 (- \sqrt{6}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.4

Умножим $- 1$ на $27$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.5

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 {(- \sqrt{6})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 (1 {\sqrt{6}}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.8

Умножим ${\sqrt{6}}^{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 {\sqrt{6}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.9

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.6.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.6.9.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.9.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6 + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.9.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6 + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.10

Умножим $9$ на $6$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.11

Применим правило умножения к $- \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 - {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.13

Перепишем ${\sqrt{6}}^{3}$ в виде $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 - \sqrt{6^{3}})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.14

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 - \sqrt{216})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.15

Перепишем $216$ в виде $6^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.6.15.1

Вынесем множитель $36$ из $216$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 - \sqrt{36 (6)})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.15.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 - \sqrt{6^{2} \cdot 6})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 - (6 \sqrt{6}))}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.6.17

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 - 6 \sqrt{6})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.7

Добавим $27$ и $54$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (81 - 27 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.8

Вычтем $6 \sqrt{6}$ из $- 27 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (81 - 33 \sqrt{6})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.9

Сократим общий множитель $81 - 33 \sqrt{6}$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.9.1

Вынесем множитель $3$ из $- (81 - 33 \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{3 (- (27 - 11 \sqrt{6}))}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{3 (- (27 - 11 \sqrt{6}))}{3 (3)} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{3 (- (27 - 11 \sqrt{6}))}{3 \cdot 3} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 11 \sqrt{6})}{3} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.11

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.11.1

Применим правило умножения к $- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2}) \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.11.2

Применим правило умножения к $\frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}})) \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.12

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (1 (\frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}})) \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.13

Умножим $\frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (\frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}) \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.14

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (\frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{9}) \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.15

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.15.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (\frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{3 (3)}) \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.15.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (\frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3}) \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.15.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + \frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{3} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.16

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.16.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + \frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{3} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.16.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + {(3 - \sqrt{6})}^{2} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.17

Перепишем ${(3 - \sqrt{6})}^{2}$ в виде $(3 - \sqrt{6}) (3 - \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + (3 - \sqrt{6}) (3 - \sqrt{6}) - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.18

Развернем $(3 - \sqrt{6}) (3 - \sqrt{6})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (3 - \sqrt{6}) - \sqrt{6} (3 - \sqrt{6}) - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} (3 - \sqrt{6}) - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.18.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 3 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}) - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.19.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.19.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 + 3 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 3 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}) - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot 3 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}) - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} - \sqrt{6} (- \sqrt{6}) - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19.1.4

Умножим $- \sqrt{6} (- \sqrt{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.19.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + 1 \sqrt{6} \sqrt{6} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19.1.4.2

Умножим $\sqrt{6}$ на $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19.1.4.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19.1.4.4

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{1 + 1} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{2} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19.1.5

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.19.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + 6^{\frac{2}{2}} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.19.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + 6^{\frac{2}{2}} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + 6 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + 6 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19.2

Добавим $9$ и $6$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 15 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.19.3

Вычтем $3 \sqrt{6}$ из $- 3 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 15 - 6 \sqrt{6} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.20

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 15 - 6 \sqrt{6} - 1 \cdot 3 + \sqrt{6} - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.21

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 15 - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.22

Умножим $- - \sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.22.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 15 - 6 \sqrt{6} - 3 + 1 \sqrt{6} - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.22.2

Умножим $\sqrt{6}$ на $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 15 - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.23

Умножим $- 4$ на $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 15 - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.5

Чтобы записать $15$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 15 \cdot \frac{3}{3} - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1

Объединим $15$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3} - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.6.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 11 \sqrt{6}) + 15 \cdot 3}{3} - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.6.2.2

Умножим $15$ на $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 11 \sqrt{6}) + 45}{3} - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 27 - (- 11 \sqrt{6}) + 45}{3} - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.7.2

Умножим $- 1$ на $27$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 27 - (- 11 \sqrt{6}) + 45}{3} - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.7.3

Умножим $- 11$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 27 + 11 \sqrt{6} + 45}{3} - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.7.4

Добавим $- 27$ и $45$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 11 \sqrt{6}}{3} - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.8

Чтобы записать $- 6 \sqrt{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 11 \sqrt{6}}{3} - 6 \sqrt{6} \cdot \frac{3}{3} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.9.1

Объединим $- 6 \sqrt{6}$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 11 \sqrt{6}}{3} + \frac{- 6 \sqrt{6} \cdot 3}{3} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 11 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} \cdot 3}{3} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.10.1

Умножим $3$ на $- 6$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 11 \sqrt{6} - 18 \sqrt{6}}{3} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.10.2

Вычтем $18 \sqrt{6}$ из $11 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 7 \sqrt{6}}{3} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.11

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 7 \sqrt{6}}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3} + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.12

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 7 \sqrt{6}}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.13.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 7 \sqrt{6} - 3 \cdot 3}{3} + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.13.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 7 \sqrt{6} - 9}{3} + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.13.3

Вычтем $9$ из $18$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 7 \sqrt{6}}{3} + \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 11.2.14

Чтобы записать $\sqrt{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 7 \sqrt{6}}{3} + \sqrt{6} \cdot \frac{3}{3} - 12}{3}$

Этап 11.2.15

Объединим $\sqrt{6}$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 7 \sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{6} \cdot 3}{3} - 12}{3}$

Этап 11.2.16

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.16.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 7 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 3}{3} - 12}{3}$

Этап 11.2.16.2

Изменим порядок множителей в $\sqrt{6} \cdot 3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 7 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6}}{3} - 12}{3}$

Этап 11.2.17

Добавим $- 7 \sqrt{6}$ и $3 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 4 \sqrt{6}}{3} - 12}{3}$

Этап 11.2.18

Чтобы записать $- 12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 4 \sqrt{6}}{3} - 12 \cdot \frac{3}{3}}{3}$

Этап 11.2.19

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.19.1

Объединим $- 12$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 4 \sqrt{6}}{3} + \frac{- 12 \cdot 3}{3}}{3}$

Этап 11.2.19.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 4 \sqrt{6} - 12 \cdot 3}{3}}{3}$

Этап 11.2.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.20.1

Умножим $- 12$ на $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 4 \sqrt{6} - 36}{3}}{3}$

Этап 11.2.20.2

Вычтем $36$ из $9$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 27 - 4 \sqrt{6}}{3}}{3}$

Этап 11.2.21

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.21.1

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 27 - 4 \sqrt{6}}{3}}{3}$

Этап 11.2.21.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 27 - (4 \sqrt{6})}{3}}{3}$

Этап 11.2.21.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (27) - (4 \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 1 (27 + 4 \sqrt{6})}{3}}{3}$

Этап 11.2.21.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 4 \sqrt{6}}{3}}{3}$

Этап 11.2.22

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{27 + 4 \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 11.2.23

Умножим $- \frac{27 + 4 \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.23.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{27 + 4 \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{27 + 4 \sqrt{6}}{3 \cdot 3}$

Этап 11.2.23.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{27 + 4 \sqrt{6}}{9}$

Этап 11.2.24

Окончательный ответ: $- \frac{27 + 4 \sqrt{6}}{9}$ .

$y = - \frac{27 + 4 \sqrt{6}}{9}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) + 6$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ в числитель.

$6 \frac{- (3 + \sqrt{6})}{3} + 6$

Этап 13.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{- (3 + \sqrt{6})}{3} + 6$

Этап 13.1.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{- (3 + \sqrt{6})}{3} + 6$

Этап 13.1.1.4

Перепишем это выражение.

$2 (- (3 + \sqrt{6})) + 6$

Этап 13.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (3 + \sqrt{6}) + 6$

Этап 13.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 3 - 2 \sqrt{6} + 6$

Этап 13.1.4

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 6 - 2 \sqrt{6} + 6$

Этап 13.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $- 6$ и $6$ .

$0 - 2 \sqrt{6}$

Этап 13.2.2

Вычтем $2 \sqrt{6}$ из $0$ .

$- 2 \sqrt{6}$

Этап 14

$x = - \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} - 4$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} - 4$

Этап 15.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Запишем ${(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3}}{1} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} - 4$

Этап 15.2.2.2

Умножим $\frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} - 4$

Этап 15.2.2.3

Умножим $\frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} - 4$

Этап 15.2.2.4

Запишем $3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2}}{1} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} - 4$

Этап 15.2.2.5

Умножим $\frac{3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} - 4$

Этап 15.2.2.6

Умножим $\frac{3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} - 4$

Этап 15.2.2.7

Запишем $- 4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} + \frac{- 4}{1}$

Этап 15.2.2.8

Умножим $\frac{- 4}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 15.2.2.9

Умножим $\frac{- 4}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{3} (\frac{{(3 + \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}}) \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{{(3 + \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{{(3 + \sqrt{6})}^{3}}{27} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{{(3 + \sqrt{6})}^{3}}{27}$ в числитель.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- {(3 + \sqrt{6})}^{3}}{27} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.4.2

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- {(3 + \sqrt{6})}^{3}}{3 (9)} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.4.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- {(3 + \sqrt{6})}^{3}}{3 \cdot 9} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.4.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- {(3 + \sqrt{6})}^{3}}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.5

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (3^{3} + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{6}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.6.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{6}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6.2

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.6.2.1

Умножим $3$ на $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.6.2.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

Этап 15.2.4.6.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 3^{1 + 2} \sqrt{6} + 3 \cdot (3 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 3^{3} \sqrt{6} + 3 \cdot (3 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 3 \cdot (3 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6.4

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 9 {\sqrt{6}}^{2} + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6.5

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.6.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 9 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.6.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6 + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6.5.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6 + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6.6

Умножим $9$ на $6$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 54 + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6.7

Перепишем ${\sqrt{6}}^{3}$ в виде $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 54 + \sqrt{6^{3}})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6.8

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 54 + \sqrt{216})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6.9

Перепишем $216$ в виде $6^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.6.9.1

Вынесем множитель $36$ из $216$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 54 + \sqrt{36 (6)})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6.9.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 54 + \sqrt{6^{2} \cdot 6})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.6.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 54 + 6 \sqrt{6})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.7

Добавим $27$ и $54$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (81 + 27 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.8

Добавим $27 \sqrt{6}$ и $6 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (81 + 33 \sqrt{6})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.9

Сократим общий множитель $81 + 33 \sqrt{6}$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.9.1

Вынесем множитель $3$ из $- (81 + 33 \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{3 (- (27 + 11 \sqrt{6}))}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{3 (- (27 + 11 \sqrt{6}))}{3 (3)} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{3 (- (27 + 11 \sqrt{6}))}{3 \cdot 3} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 11 \sqrt{6})}{3} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.11

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.11.1

Применим правило умножения к $- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2}) \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.11.2

Применим правило умножения к $\frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}})) \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.12

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (1 (\frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}})) \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.13

Умножим $\frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (\frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}) \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.14

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (\frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{9}) \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.15

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.15.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (\frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{3 (3)}) \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.15.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (\frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3}) \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.15.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + \frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{3} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.16

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.16.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + \frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{3} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.16.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + {(3 + \sqrt{6})}^{2} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.17

Перепишем ${(3 + \sqrt{6})}^{2}$ в виде $(3 + \sqrt{6}) (3 + \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + (3 + \sqrt{6}) (3 + \sqrt{6}) - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.18

Развернем $(3 + \sqrt{6}) (3 + \sqrt{6})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (3 + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (3 + \sqrt{6}) - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{6} + \sqrt{6} (3 + \sqrt{6}) - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.18.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 3 + \sqrt{6} \sqrt{6} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.19

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.19.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.19.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 9 + 3 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 3 + \sqrt{6} \sqrt{6} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.19.1.2

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 9 + 3 \sqrt{6} + 3 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.19.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 9 + 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} + \sqrt{6 \cdot 6} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.19.1.4

Умножим $6$ на $6$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 9 + 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} + \sqrt{36} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.19.1.5

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 9 + 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} + \sqrt{6^{2}} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.19.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 9 + 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} + 6 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.19.2

Добавим $9$ и $6$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 15 + 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.19.3

Добавим $3 \sqrt{6}$ и $3 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 15 + 6 \sqrt{6} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.20

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 15 + 6 \sqrt{6} - 1 \cdot 3 - \sqrt{6} - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.21

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 15 + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.22

Умножим $- 4$ на $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 15 + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.5

Чтобы записать $15$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 15 \cdot \frac{3}{3} + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.1

Объединим $15$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3} + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.6.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 11 \sqrt{6}) + 15 \cdot 3}{3} + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.6.2.2

Умножим $15$ на $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 11 \sqrt{6}) + 45}{3} + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 27 - (11 \sqrt{6}) + 45}{3} + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.7.2

Умножим $- 1$ на $27$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 27 - (11 \sqrt{6}) + 45}{3} + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.7.3

Умножим $11$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 27 - 11 \sqrt{6} + 45}{3} + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.7.4

Добавим $- 27$ и $45$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 11 \sqrt{6}}{3} + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.8

Чтобы записать $6 \sqrt{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 11 \sqrt{6}}{3} + 6 \sqrt{6} \cdot \frac{3}{3} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.9.1

Объединим $6 \sqrt{6}$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 11 \sqrt{6}}{3} + \frac{6 \sqrt{6} \cdot 3}{3} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 11 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} \cdot 3}{3} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.10.1

Умножим $3$ на $6$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 11 \sqrt{6} + 18 \sqrt{6}}{3} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.10.2

Добавим $- 11 \sqrt{6}$ и $18 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 7 \sqrt{6}}{3} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.11

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 7 \sqrt{6}}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3} - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.12

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 7 \sqrt{6}}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.13.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 7 \sqrt{6} - 3 \cdot 3}{3} - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.13.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 7 \sqrt{6} - 9}{3} - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.13.3

Вычтем $9$ из $18$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 7 \sqrt{6}}{3} - \sqrt{6} - 12}{3}$

Этап 15.2.14

Чтобы записать $- \sqrt{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 7 \sqrt{6}}{3} - \sqrt{6} \cdot \frac{3}{3} - 12}{3}$

Этап 15.2.15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.15.1

Объединим $- \sqrt{6}$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 7 \sqrt{6}}{3} + \frac{- \sqrt{6} \cdot 3}{3} - 12}{3}$

Этап 15.2.15.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 7 \sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot 3}{3} - 12}{3}$

Этап 15.2.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.16.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 7 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6}}{3} - 12}{3}$

Этап 15.2.16.2

Вычтем $3 \sqrt{6}$ из $7 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 4 \sqrt{6}}{3} - 12}{3}$

Этап 15.2.17

Чтобы записать $- 12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 4 \sqrt{6}}{3} - 12 \cdot \frac{3}{3}}{3}$

Этап 15.2.18

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.18.1

Объединим $- 12$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 4 \sqrt{6}}{3} + \frac{- 12 \cdot 3}{3}}{3}$

Этап 15.2.18.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 4 \sqrt{6} - 12 \cdot 3}{3}}{3}$

Этап 15.2.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.19.1

Умножим $- 12$ на $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 4 \sqrt{6} - 36}{3}}{3}$

Этап 15.2.19.2

Вычтем $36$ из $9$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 27 + 4 \sqrt{6}}{3}}{3}$

Этап 15.2.20

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.20.1

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 27 + 4 \sqrt{6}}{3}}{3}$

Этап 15.2.20.2

Вынесем множитель $- 1$ из $4 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 27 - (- 4 \sqrt{6})}{3}}{3}$

Этап 15.2.20.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (27) - (- 4 \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 1 (27 - 4 \sqrt{6})}{3}}{3}$

Этап 15.2.20.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 4 \sqrt{6}}{3}}{3}$

Этап 15.2.21

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{27 - 4 \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 15.2.22

Умножим $- \frac{27 - 4 \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.22.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{27 - 4 \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{27 - 4 \sqrt{6}}{3 \cdot 3}$

Этап 15.2.22.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{27 - 4 \sqrt{6}}{9}$

Этап 15.2.23

Окончательный ответ: $- \frac{27 - 4 \sqrt{6}}{9}$ .

$y = - \frac{27 - 4 \sqrt{6}}{9}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + x - 4$ .

$(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{27 + 4 \sqrt{6}}{9})$ — локальный минимум

$(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}, - \frac{27 - 4 \sqrt{6}}{9})$ — локальный максимум

Этап 17