Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - y^{2} = 81$

Этап 1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- y^{2} = 81 - x^{2}$

Этап 2

Разделим каждый член $- y^{2} = 81 - x^{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $- y^{2} = 81 - x^{2}$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{81}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{81}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Этап 2.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{81}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим $81$ на $- 1$ .

$y^{2} = - 81 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Этап 2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{2} = - 81 + \frac{x^{2}}{1}$

Этап 2.3.1.3

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = - 81 + x^{2}$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- 81 + x^{2}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{- 81 + x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9^{2} + x^{2}}$

Этап 4.1.2

Изменим порядок $- 9^{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 9^{2}}$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 9$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

$y = - \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

$y = \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

$y = - \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

Этап 6

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x + 9) (x - 9)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x + 9) (x - 9) \geq 0$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 9 = 0$

$x - 9 = 0$

Этап 7.2

Приравняем $x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Приравняем $x + 9$ к $0$ .

$x + 9 = 0$

Этап 7.2.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 7.3

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 7.3.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 7.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 9) (x - 9) \geq 0$ верно.

$x = - 9, 9$

Этап 7.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 9$

$- 9 < x < 9$

$x > 9$

Этап 7.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 12$

Этап 7.6.1.2

Заменим $x$ на $- 12$ в исходном неравенстве.

$((- 12) + 9) ((- 12) - 9) \geq 0$

Этап 7.6.1.3

Левая часть $63$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.6.2

Проверим значение на интервале $- 9 < x < 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 9 < x < 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 9) ((0) - 9) \geq 0$

Этап 7.6.2.3

Левая часть $- 81$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.6.3

Проверим значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 7.6.3.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$((12) + 9) ((12) - 9) \geq 0$

Этап 7.6.3.3

Левая часть $63$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 9$ Истина

$- 9 < x < 9$ Ложь

$x > 9$ Истина

$x < - 9$ Истина

$- 9 < x < 9$ Ложь

$x > 9$ Истина

Этап 7.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 9$ или $x \geq 9$

Этап 8

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 9] \cup [9, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 9, x \geq 9}$

Этап 9

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \in ℝ}$

Этап 10

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 9] \cup [9, \infty), {x | x \leq - 9, x \geq 9}$

Диапазон: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Этап 11