Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$

Этап 1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + 2 x = - x^{2}$

Этап 1.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = - x^{2} - 2 x$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - 2 x}$

Этап 3

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x) - 2 x}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x) + x \cdot - 2}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- x) + x \cdot - 2$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x - 2)}$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{x (- x - 2)}$

Этап 4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{x (- x - 2)}$

Этап 4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x (- x - 2)}$

$y = - \sqrt{x (- x - 2)}$

$y = \sqrt{x (- x - 2)}$

$y = - \sqrt{x (- x - 2)}$

Этап 5

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x (- x - 2)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x (- x - 2) \geq 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$- x - 2 = 0$

Этап 6.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.3

Приравняем $- x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем $- x - 2$ к $0$ .

$- x - 2 = 0$

Этап 6.3.2

Решим $- x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- x = 2$

Этап 6.3.2.2

Разделим каждый член $- x = 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Этап 6.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

Этап 6.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{- 1}$

Этап 6.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.3.1

Разделим $2$ на $- 1$ .

$x = - 2$

Этап 6.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (- x - 2) \geq 0$ верно.

$x = 0, - 2$

Этап 6.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Этап 6.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 6.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$(- 4) (- (- 4) - 2) \geq 0$

Этап 6.6.1.3

Левая часть $- 8$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.6.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 6.6.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$(- 1) (- (- 1) - 2) \geq 0$

Этап 6.6.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.6.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 6.6.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$(2) (- (2) - 2) \geq 0$

Этап 6.6.3.3

Левая часть $- 8$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

Этап 6.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 \leq x \leq 0$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 2, 0]$

Обозначение построения множества:

${x | - 2 \leq x \leq 0}$

Этап 8

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 1, 1]$

Обозначение построения множества:

${y | - 1 \leq y \leq 1}$

Этап 9

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[- 2, 0], {x | - 2 \leq x \leq 0}$

Диапазон: $[- 1, 1], {y | - 1 \leq y \leq 1}$

Этап 10