Основы мат. анализа Примеры

$y^{2} = 81 - 9 x^{2}$

Этап 1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{81 - 9 x^{2}}$

Этап 2

Упростим $\pm \sqrt{81 - 9 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $9$ из $81 - 9 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $9$ из $81$ .

$y = \pm \sqrt{9 (9) - 9 x^{2}}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 9 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 (9) + 9 (- x^{2})}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $9$ из $9 (9) + 9 (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{9 (9 - x^{2})}$

Этап 2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 (3^{2} - x^{2})}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{9 (3 + x) (3 - x)}$

Этап 2.4

Перепишем $9 (3 + x) (3 - x)$ в виде $3^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} (3 + x) (3 - x)}$

Этап 2.4.2

Добавим круглые скобки.

$y = \pm \sqrt{3^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

Этап 2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Этап 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Этап 3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Этап 4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Этап 5.2

Приравняем $3 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Приравняем $3 + x$ к $0$ .

$3 + x = 0$

Этап 5.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 5.3

Приравняем $3 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Приравняем $3 - x$ к $0$ .

$3 - x = 0$

Этап 5.3.2

Решим $3 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 5.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ верно.

$x = - 3, 3$

Этап 5.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Этап 5.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 5.6.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Этап 5.6.1.3

Левая часть $- 27$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.6.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Этап 5.6.2.3

Левая часть $9$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.6.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 5.6.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Этап 5.6.3.3

Левая часть $- 27$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 5.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 3 \leq x \leq 3$

Этап 6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 3, 3]$

Обозначение построения множества:

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

Этап 7

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 9, 9]$

Обозначение построения множества:

${y | - 9 \leq y \leq 9}$

Этап 8

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[- 3, 3], {x | - 3 \leq x \leq 3}$

Диапазон: $[- 9, 9], {y | - 9 \leq y \leq 9}$

Этап 9