Основы мат. анализа Примеры

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{x^{2}}{49} = 1$

Этап 1

Добавим $\frac{x^{2}}{49}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y^{2}}{25} = 1 + \frac{x^{2}}{49}$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $25$ .

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Этап 3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 25 \cdot 1 + 25 \frac{x^{2}}{49}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $25$ на $1$ .

$y^{2} = 25 + 25 \frac{x^{2}}{49}$

Этап 3.2.1.3

Объединим $25$ и $\frac{x^{2}}{49}$ .

$y^{2} = 25 + \frac{25 x^{2}}{49}$

Этап 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 + \frac{25 x^{2}}{49}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{25 + \frac{25 x^{2}}{49}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{49}{49}$ .

$y = \pm \sqrt{25 \cdot \frac{49}{49} + \frac{25 x^{2}}{49}}$

Этап 5.2

Объединим $25$ и $\frac{49}{49}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 49}{49} + \frac{25 x^{2}}{49}}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 49 + 25 x^{2}}{49}}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $25$ из $25 \cdot 49 + 25 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $25$ из $25 \cdot 49$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (49) + 25 x^{2}}{49}}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $25$ из $25 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (49) + 25 (x^{2})}{49}}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $25$ из $25 (49) + 25 (x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (49 + x^{2})}{49}}$

Этап 5.5

Перепишем $\frac{25 (49 + x^{2})}{49}$ в виде ${(\frac{5}{7})}^{2} (7^{2} + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем полную степень $5^{2}$ из $25 (49 + x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} (7^{2} + x^{2})}{49}}$

Этап 5.5.2

Вынесем полную степень $7^{2}$ из $49$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} (7^{2} + x^{2})}{7^{2} \cdot 1}}$

Этап 5.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{5^{2} (7^{2} + x^{2})}{7^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{7})}^{2} (7^{2} + x^{2})}$

Этап 5.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{5}{7} \sqrt{7^{2} + x^{2}}$

Этап 5.7

Возведем $7$ в степень $2$ .

$y = \pm \frac{5}{7} \sqrt{49 + x^{2}}$

Этап 5.8

Объединим $\frac{5}{7}$ и $\sqrt{49 + x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{5 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

Этап 6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{5 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{5 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

$y = - \frac{5 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

$y = \frac{5 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

$y = - \frac{5 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{49 + x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$49 + x^{2} \geq 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $49$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} \geq - 49$

Этап 8.2

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 9

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 10

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \leq - 5, y \geq 5}$

Этап 11

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Диапазон: $(- \infty, - 5] \cup [5, \infty), {y | y \leq - 5, y \geq 5}$

Этап 12