Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Этап 1

Вычтем $\frac{x^{2}}{16}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Этап 3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Этап 3.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{16}$ в числитель.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

Этап 3.2.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

Этап 3.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 3.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

Этап 3.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

Этап 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Этап 5.1.2

Перепишем $\frac{x^{2}}{4}$ в виде ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Этап 5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Этап 5.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Этап 5.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Этап 5.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Этап 5.7

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Этап 5.8

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Этап 5.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

Этап 5.10

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

Этап 5.11

Умножим $\frac{4 + x}{2}$ на $\frac{4 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

Этап 5.12

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

Этап 5.13

Перепишем $\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(4 + x) (4 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

Этап 5.13.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 5.13.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

Этап 5.14

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Этап 5.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Этап 6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Этап 8.2

Приравняем $4 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Приравняем $4 + x$ к $0$ .

$4 + x = 0$

Этап 8.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 8.3

Приравняем $4 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Приравняем $4 - x$ к $0$ .

$4 - x = 0$

Этап 8.3.2

Решим $4 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 8.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 8.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 8.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 8.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 8.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ верно.

$x = - 4, 4$

Этап 8.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Этап 8.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 8.6.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Этап 8.6.1.3

Левая часть $- 20$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.6.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Этап 8.6.2.3

Левая часть $16$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.6.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 8.6.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Этап 8.6.3.3

Левая часть $- 20$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 8.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 \leq x \leq 4$

Этап 9

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 4, 4]$

Обозначение построения множества:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Этап 10

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 2, 2]$

Обозначение построения множества:

${y | - 2 \leq y \leq 2}$

Этап 11

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[- 4, 4], {x | - 4 \leq x \leq 4}$

Диапазон: $[- 2, 2], {y | - 2 \leq y \leq 2}$

Этап 12