Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{16} = 1$

Этап 1

Добавим $\frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$

Этап 2

Упростим $1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16}{16} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$

Этап 2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + {(x - 1)}^{2}}{16}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + (x - 1) (x - 1)}{16}$

Этап 2.2.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}{16}$

Этап 2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{16}$

Этап 2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

Этап 2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

Этап 2.2.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

Этап 2.2.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

Этап 2.2.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}{16}$

Этап 2.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - x + 1}{16}$

Этап 2.2.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - 2 x + 1}{16}$

Этап 2.2.4

Добавим $16$ и $1$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

Этап 4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

Этап 4.1.1.2

Перепишем это выражение.

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4 (4)}$

Этап 4.2.1.2

Сократим общий множитель.

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4 \cdot 4}$

Этап 4.2.1.3

Перепишем это выражение.

${(y + 5)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}$

Этап 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}}$

Этап 6

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 17)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $x^{2} - 2 x + 17$ .

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{4}}$

Этап 6.1.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 6.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y + 5 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}$

Этап 6.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y + 5 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$

Этап 6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$ .

$y + 5 = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

Этап 7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y + 5 = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

Этап 7.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

Этап 7.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y + 5 = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

Этап 7.4

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

Этап 7.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

Этап 8

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 2 x + 17 \geq 0$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 2 x + 17 = 0$

Этап 9.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 9.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 17$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 17)}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $17$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.3

Вычтем $68$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.4

Перепишем $- 64$ в виде $- 1 (64)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (64)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.7

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.9

Перенесем $8$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

Этап 9.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 4 i$

Этап 9.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $17$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.3

Вычтем $68$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.4

Перепишем $- 64$ в виде $- 1 (64)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (64)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.7

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.9

Перенесем $8$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

Этап 9.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 4 i$

Этап 9.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + 4 i$

Этап 9.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $17$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.3

Вычтем $68$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.4

Перепишем $- 64$ в виде $- 1 (64)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (64)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.7

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.9

Перенесем $8$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

Этап 9.6.3

Упростим $\frac{2 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 4 i$

Этап 9.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - 4 i$

Этап 9.7

Определим старший коэффициент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Старший член многочлена — это член с наивысшим показателем степени.

$x^{2}$

Этап 9.7.2

Старший коэффициент многочлена — это коэффициент его старшего члена.

$1$

Этап 9.8

Поскольку реальные пересечения с осью X отсутствуют и старший коэффициент положителен, концы параболы направлены вверх, и $x^{2} - 2 x + 17$ всегда больше $0$ .

Все вещественные числа

Этап 10

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 11

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 7] \cup [- 3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \leq - 7, y \geq - 3}$

Этап 12

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Диапазон: $(- \infty, - 7] \cup [- 3, \infty), {y | y \leq - 7, y \geq - 3}$

Этап 13