Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1^{2}} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{1}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 1) (x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{x - 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x - x - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{0 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$