Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{7} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{7} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 4$

$b = \sqrt{7}$

$k = 4$

$h = - 3$

Этап 4

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 5

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(\sqrt{7})}^{2}}}{4}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - {\sqrt{7}}^{2}}}{4}$

Этап 6.2

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{16 - {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{4}$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{16 - 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{4}$

Этап 6.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 7^{\frac{2}{2}}}}{4}$

Этап 6.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{16 - 7^{\frac{2}{2}}}}{4}$

Этап 6.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{16 - 7^{1}}}{4}$

Этап 6.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 7}}{4}$

Этап 6.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{\sqrt{16 - 7}}{4}$

Этап 6.4

Вычтем $7$ из $16$ .

$\frac{\sqrt{9}}{4}$

Этап 6.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{4}$

Этап 6.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3}{4}$

Этап 7